python - MCMC 使用 Python 的司仪对麦克斯韦曲线进行采样

Question

我正在尝试向主持人介绍 MCMC 采样。我想简单地使用 github 上的一组示例代码从 Maxwell Boltzmann 分布中获取样本，https://github.com/dfm/emcee/blob/master/examples/quickstart.py 。

示例代码非常出色，但是当我将分布从高斯分布更改为麦克斯韦分布时，我收到错误，TypeError:lnprob() 恰好需要 2 个参数(给定 3 个)

但是，如果没有给出适当的参数，它就不会被调用？需要一些关于如何定义麦克斯韦曲线并将其适合此示例代码的指导。

这是我所拥有的；

    from __future__ import print_function
import numpy as np
import emcee

try:
    xrange
except NameError:
    xrange = range
def lnprob(x, a, icov):
    pi = np.pi
    return np.sqrt(2/pi)*x**2*np.exp(-x**2/(2.*a**2))/a**3

ndim = 2
means = np.random.rand(ndim)

cov  = 0.5-np.random.rand(ndim**2).reshape((ndim, ndim))
cov  = np.triu(cov)
cov += cov.T - np.diag(cov.diagonal())
cov  = np.dot(cov,cov)


icov = np.linalg.inv(cov)


nwalkers = 50


p0 = [np.random.rand(ndim) for i in xrange(nwalkers)]


sampler = emcee.EnsembleSampler(nwalkers, ndim, lnprob, args=[means, icov])

pos, prob, state = sampler.run_mcmc(p0, 5000)

sampler.reset()

sampler.run_mcmc(pos, 100000, rstate0=state)

谢谢

Answer 1

我认为存在一些问题。主要的一个是主持人要你给它你想要采样的概率分布函数的自然对数。所以，而不是:

def lnprob(x, a, icov):
    pi = np.pi
    return np.sqrt(2/pi)*x**2*np.exp(-x**2/(2.*a**2))/a**3

你会想要，例如

def lnprob(x, a):
    pi = np.pi
    if x < 0:
        return -np.inf
    else:
        return 0.5*np.log(2./pi) + 2.*np.log(x) - (x**2/(2.*a**2)) - 3.*np.log(a)

其中 if...else... 语句明确表示 x 的负值概率为零(或对数空间中的无穷大)。

您也不应该计算 icov 并将其传递给 lnprob，因为这仅适用于您链接到的示例中的高斯情况。

当您调用时:

sampler = emcee.EnsembleSampler(nwalkers, ndim, lnprob, args=[means, icov])

args 值应该只是您的 lnprob 函数所需的任何其他参数，因此在您的情况下，这将是 a 的值您想要设置 Maxwell-Boltxmann 分布。这应该是单个值，而不是您在创建 mean 时设置的两个随机初始化值。

总的来说，以下内容应该适合您:

from __future__ import print_function

import emcee
import numpy as np
from numpy import pi as pi

# define the natural log of the Maxwell-Boltzmann distribution
def lnprob(x, a):               
    if x < 0:                                                                
        return -np.inf
    else:
        return 0.5*np.log(2./pi) + 2.*np.log(x) - (x**2/(2.*a**2)) - 3.*np.log(a)

# choose a value of 'a' for the distributions
a = 5. # I'm choosing 5!

# choose the number of walkers
nwalkers = 50

# set some initial points at which to calculate the lnprob
p0 = [np.random.rand(1) for i in xrange(nwalkers)]

# initialise the sampler
sampler = emcee.EnsembleSampler(nwalkers, 1, lnprob, args=[a])

# Run 5000 steps as a burn-in.
pos, prob, state = sampler.run_mcmc(p0, 5000)

# Reset the chain to remove the burn-in samples.
sampler.reset()

# Starting from the final position in the burn-in chain, sample for 100000 steps.
sampler.run_mcmc(pos, 100000, rstate0=state)

# lets check the samples look right
mbmean = 2.*a*np.sqrt(2./pi) # mean of Maxwell-Boltzmann distribution
print("Sample mean = {}, analytical mean = {}".format(np.mean(sampler.flatchain[:,0]), mbmean))
mbstd = np.sqrt(a**2*(3*np.pi-8.)/np.pi) # std. dev. of M-B distribution
print("Sample standard deviation = {}, analytical = {}".format(np.std(sampler.flatchain[:,0]), mbstd))