python - 使用 SciPy 或 NumPy 库，简并特征向量不尊重矩阵的对称性

Question

我们正在尝试对以下两个矩阵进行对角化:matrix1 和matrix2 我们将结果与 Wolfram Mathematica 进行了比较，在第一个矩阵中，当比较对应于简并特征值的特征向量时，我们获得了不同的结果。

这里是我们在 python 中使用的代码。在 Mathematica 中我们只使用经典函数“Eigensystem[]”。

正如您所见，对于第一个矩阵，SciPy 和 Mathematica 的结果确实不同，而对于第二个矩阵则一致。

特别是我们观察到，对于第一个矩阵，第二个和第三个特征向量的能量是简并的。在 Mathematica 中，“Eigensystem[]”能够找到两个保持矩阵平移对称性的特征向量，而在这种特殊情况下，Python 则不能。

令人惊讶的是，对于第二个矩阵，Mathematica 和 Python 的两个结果是相同的。

有人知道为什么会发生这种情况以及如何解决吗？ 我们的目标是将大型稀疏埃尔米特矩阵对角化，但在这种情况下我们也发现了同样的问题。

import numpy as np
from numpy import linalg
import scipy.linalg

t=-1
matrix1 = np.array([ [0, t, 0, 0, t], [t, 0, t, 0, 0],[0, t, 0, t, 0],[0, 0, t, 0, t],[t, 0, 0, t, 0]])

matrix2 = np.array([[0, t, 0, t, 0],[t, 0, t, 0, t],[0, t, 0, t, 0],[t, 0, t, 0, t],[0, t, 0, t, 0]])

E1,V1   = linalg.eigh(matrix1)
E2,V2 = linalg.eigh(matrix2)

print('.....First Matrix')
print('Matrix')
print(matrix1)
print('Eigenvalues')
print(E1)
print('Eigenvectors')
for i in range(len(V1)):
    print(V1[:,i]

print('')

print('.....Second Matrix')
print('Matrix')
print(matrix2)
print('Eigenvalues')
print(E2)
print('Eigenvectors')
for i in range(len(V2)):
    print(V2[:,i])

这是两个矩阵的 python 和 mathematica 的输出。

......First Matrix..............................................................

.....PYTHON.....

Matrix

[[ 0 -1  0  0 -1]

 [-1  0 -1  0  0]

 [ 0 -1  0 -1  0]

 [ 0  0 -1  0 -1]

 [-1  0  0 -1  0]]

Eigenvalues

[-2.    -0.618 -0.618  1.618  1.618]

Eigenvectors

[-0.447 -0.447 -0.447 -0.447 -0.447]

[ 0.103  0.625  0.283 -0.450 -0.561]

[-0.624 -0.094  0.566  0.444 -0.291]

[ 0.632 -0.512  0.195  0.195 -0.512]

[ 0.000  0.371 -0.601  0.601 -0.371]


.....MATHEMATICA.....

Eigenvalues

(-2.,-0.618034,-0.618034,1.61803,1.61803)

Eigenvectors

(-0.44721   -0.44721  -0.447214 -0.447214   -0.447214

  0.60150    0.37174  -0.371748 -0.601501   0.

  0.19544   -0.51166  -0.511667  0.19544    0.632456

 -0.51166    0.19544   0.19544  -0.511667   0.632456

 -0.37174    0.60150  -0.601501  0.371748   0.)


......Second Matrix..............................................................

.....PYTHON.....

Matrix

[[ 0 -1  0 -1  0]

 [-1  0 -1  0 -1]

 [ 0 -1  0 -1  0]

 [-1  0 -1  0 -1]

 [ 0 -1  0 -1  0]]

Eigenvalues

[-2.449 0  0  0  2.449]

Eigenvectors

[ 0.408  0.5    0.408  0.5    0.408]

[ 0.816  0     -0.408  0     -0.408]

[ 0.    -0.707  0.     0.707  0.   ]

[ 0.     0.    -0.707  0.     0.707]

[-0.408  0.5   -0.408  0.5   -0.408]




.....MATHEMATICA.....

Eigenvalues

(-2.44949,0.,0.,3.55271*10^-15,2.44949)

Eigenvectors

(-0.408248  -0.5    -0.408248   -0.5    -0.408248

0   0.707107    0   -0.707107   0

0.707107    0   -0.707107   0   0

-0.408248   0   -0.408248   0   0.816497

-0.408248   0.5 -0.408248   0.5 -0.408248)

Answer 1

与几何重数为 2 的特征值相关的特征空间的基础不是唯一的。因此，两个不同的库返回不同的基数也就不足为奇了。

我认为 numpy.linalg.eigh 对 matrix1 计算的结果没有任何问题。例如，

In [47]: E1, V1 = linalg.eigh(matrix1)

验证E1和V1满足特征值问题:

In [48]: np.allclose(matrix1 @ V1, V1 @ np.diag(E1))
Out[48]: True

验证 V1 中的向量是否正交:

In [49]: np.allclose(V1.T @ V1, np.eye(len(matrix1)))
Out[49]: True