python - 在 Python 中求解 ODE 时，如何获得比 linspace 更多的变量值？ (编辑)

Question

为了更轻松地检查我的一些结果，我使用 Excel 工作表制作了一些图表。然而，我注意到一些非常尴尬的事情。

编辑:

所以让我们以另一种方式呈现问题，我在代码中发现了一些代表我不理解的内容。

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint

A = []


def F(y, z):
    global A
    a = y[0]
    b = y[1]

    A.append(a)

    return [a, b]


y0 = [1, 1]
z = np.linspace(0, 1, 101)
y = odeint(F, y0, z)
print(len(z), len(A))

问题是为什么 z 和 A 的长度不同(例如 101 和 55)？

对我来说，在求解过程中，a 应该改变 len(z) 次，因此 A。所以看起来 linspace 没有对方程的求解做任何事情。或者也许我还没有理解Python中linspace的用法。

Answer 1

通过 odeint 的解决方案使用具有自适应内部时间步进的隐式线性多步方法。这是通过 PECE 预测校正器方案实现的。其中的 E 代表“评估”。这意味着在每个内部积分步骤中，ODE 函数都会被调用两次。您获得的内部步骤可能比输入时间列表的条目少，输出数组是从内部时间步骤插入的，以便每个内部步骤可以有多个输出值。但另一个极端也是可能的，即为了达到所要求的容差，内部步长非常小，以至于一个输出时间步需要多个内部步。

如果问题更加困难，则会定期进行更多调用，以进行雅可比行列式的数值近似，并且可能会在类牛顿校正器步骤的每一步进行多次调用，或者只是多个简单的校正步骤，然后将其称为PE(CE)^d。

<小时/>

为了进行比较，请查看显式 RK4 方法。每个时间步对 ODE 函数进行 4 次评估。 ode45 的 Dormand-Prince 方法每个时间步长有 6+1 次评估，但是内部时间步长不需要对应于传递给该方法的时间样本列表，请求的输出样本是从内部步骤插值的。