python - 如何在给定的区间内使用牛顿法

Question

我可以使用牛顿法计算函数的根，方法是用新 x 值减去旧 x 值并检查收敛标准。当给定一个闭区间时，有没有办法做到这一点，例如

给定一个函数和区间 [a,b] = [0.1, 3.0]，将通过检查 [3.0 - 0.1] < 0.000001，即 [b-a] < 0.000001 来计算收敛标准。

我提供的代码使用 x 值计算收敛标准。我试图弄清楚是否有办法可以使用间隔而不是 x 值。

from math import *

x = 1.0 #initial value

for j in range(1, 101):
    xnew = (x**2 + cos(x)**2 -4*x)/(2*(x - cos(x)*sin(x) -2))

    if abs(xnew - x) < 0.000001:
        break
    x = xnew

print('Root = %0.6f ' % xnew)
print('Number of iterations = %d' % j)

Answer 1

听起来你想保证在给定的时间间隔内找到根(这不是牛顿-拉夫森可以保证的)。您可以为此使用二分法。如果您知道函数在给定间隔内改变符号(并且在同一间隔内连续)，则类似以下内容的工作原理:

>>> from sympy.abc import x
>>> from sympy import nsolve
>>> ivl = 0,3
>>> expr = (x**2 + cos(x)**2 -4*x)
>>> nsolve(expr, x, ivl)
0.250324492526265

但看起来您在尝试使用 NR 方法时可能会混淆一些变量。 xnew你计算的看起来非常像 f(x)/f'(x)这是 dx在xnew = x - dx 。所以如果你写:

for j in range(1, 101):
  dx = (x**2 + cos(x)**2 -4*x)/(2*(x - cos(x)*sin(x) -2))
  if abs(dx) < 0.000001:
    break
  x = x - dx

print('Root = %0.6f ' % x)
print('Number of iterations = %d' % j)

你会得到

Root = 0.250324 
Number of iterations = 4