python - 使用 scipy.fftpack.fft 如何解释傅里叶变换的数值结果

Question

正弦信号的解析傅立叶变换为 purely imginary 。然而，当数值计算离散傅立叶变换时，结果却并非如此。

Tldr:找到此问题的所有答案 here .

因此请考虑以下代码

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.fftpack import fft, fftfreq

f_s = 200 # Sampling rate = number of measurements per second in [Hz]
t = np.arange(0,10000, 1 / f_s)
N = len(t)
A = 4 # Amplitude of sinus signal 
x = A * np.sin(t)
X = fft(x)[1:N//2]
freqs = (fftfreq(len(x)) * f_s)[1:N//2]

fig, (ax1,ax2) = plt.subplots(2,1, sharex = True)
ax1.plot(freqs, X.real, label = "$\Re[X(\omega)]$")
ax1.plot(freqs, X.imag, label = "$\Im[X(\omega)]$")
ax1.set_title("Discrete Fourier Transform of $x(t) = A \cdot \sin(t)$")
ax1.legend()
ax1.grid(True)

ax2.plot(freqs, np.abs(X), label = "$|X(\omega)|$")
ax2.legend()
ax2.set_xlabel("Frequency $\omega$")
ax2.set_yscale("log")
ax2.grid(True, which = "both")
ax2.set_xlim(0.15,0.175)
plt.show()

显然，绝对值|X(w)|可以用作分析结果的良好近似。然而，函数 X(w) 的虚值和实值是不同的。已经another question on SO提到了这个事实，但没有解释原因。那么我只能使用绝对值和相位吗？

另一个问题是振幅与数值结果有何关系。从数学上来说应该是|X(w)|曲线下的积分除以归一化(据我所知，应该由 N 给出)，即大约除以

A_approx = np.sum(np.abs(X)) / N
print(f"Numerical value: {A_approx:.1f}, Correct value: {A:.1f}")

Numerical value: 13.5, Correct value: 4.0

事实似乎并非如此。有什么见解吗？有想法吗？

没有帮助的相关问题是 here和 here .

Answer 1

FFT 不会产生您期望的结果，因为它的长度有限，因此更类似于正弦曲线上矩形窗口的傅立叶变换。该矩形窗口的长度和位置将影响FFT结果的相位和幅度。