MATLAB : Dimension reduction

Question

LEt x_t = F(x_{t-1}) 是 chaotic regime. 中的一个时间离散动力系统

从初始条件x_0开始，我们可以生成一个时间序列=x_t，其中t =1,2,...,T 表示时间索引。
s_t = 1 如果 x_t > c 否则 s_t = 0 其中 c 是平均值 的一维 map 。因此， map F 的每次迭代都会给出一个新符号。将 0 和 1 的序列放入符号向量中，我们得到 {s} = s_0s_1s_2...

现在，假设我们有一个 3 维系统，令 d=3。令第一个坐标称为 x，第二个坐标为 y，第三个坐标为 z，生成形成多维系统的 (x,y,z)。我的问题是如何获得这种情况下的符号动态？

示例:

          x = 0.1, 0.45, 0.6,....,
          y = 0,   0.1, 0.45, 0.6,.....
          z = 0,    0,   0.1, 0.45,...

每个维度都会有一个符号序列，还是会为一个点 (x,y,z) 分配一个符号？一个解释对于理清概念然后编程非常有帮助。使用任何其他现有技术来分配符号的解决方案也将是有用的。

Answer 1

在通信中，每个点都会有一个符号。

在您的情况下，您有 2 个 1 位 符号，在一维中，每个符号都有一个坐标。

但是没有什么可以阻止你在一维中使用 2 位符号，例如:

X=[ -c -c/3 c/3 c ]

您可以通过选择最接近的坐标来绘制决策边界。

[ x<-2c/3, -2c/3<x<0, 0<x<2c/3, 2c/3<x]

同样的原理适用于多维问题，即对于二维和两位符号，您可以将它们分布如下:

   (-c -c ) == 00
   (-c  c ) == 01
   ( c -c ) == 10
   ( c  c ) == 11

请注意，您需要至少2 位个符号才能理解这一点，否则您可以将其投影到一维。

现在是棘手的部分:只有当维度之间没有相关性时，您才能利用边界上的独立性

由 channel (或噪声)引入的相关性，意味着决策前沿

[ x<0 y<0, x<0 y>0, x>0 y<0, x>0 y>0 ]

不会是最佳的。

另一方面，如果您可以假设维度独立，那么很容易看出良好的符号分配(就像我所做的那样)可以轻松实现您所说的每个维度的符号序列

{s}={ s_0, s_1, ... }
{s}={ deco(X_0), deco(Y_0), deco(X_1), deco(Y_1) ... }

与

deco(x){ return( x > 0) }