javascript - 如何计算 z 轴上的位置

Question

我在上面的 Canvas 中画了一个简单的三坐标图；

我定义了一些要使用的常量

var width = window.innerWidth * 0.5 , height = window.innerWidth * 0.5;
var cx = width / 2, cy = height / 2, cz = height / 2, blcx = 0, blcy = height, brcz = height, brcx = width, brcy = height;

var ySegment = height / 30;
var xSegment = width / 30; 
var xSegmentRatio = xSegment / width; 
var ySegmentRatio = ySegment / height;

cx 和 cy 和 cz 都是指 Canvas 的中心。 blcx 表示 bottom-left-corner-x，brcy 表示 bottom-right-corner-y，等等。我意识到这有点 hack-ish，因为这是第一次尝试这样做，但如果你能忍受我的话，我想在这里掌握一个真正的概念。

然后像这样画红线:

(function() {
    var gridCx   = cx,       gridCy   = cy,        gridCz = cz;
    var gridBlCx = blcx,     gridBlCy = brcy;
    for (var i = cx; i < width; i++) {
        gridCx += xSegment;
        gridBlCx += ySegment;
        gridCzx -= gridCzx * (xSegmentRatio / ySegmentRatio);
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(gridCx, cy);
        ctx.lineTo(gridBlCx, height);
        ctx.strokeStyle="#FF0000";
        ctx.stroke();
    }
})();

我试过这个:

gridCzx -= gridCzx * xSegmentRatio;
gridCzy += gridCzy * ySegmentRatio;
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(gridCzx, gridCzy);
ctx.lineTo(width, gridCzy);
ctx.strokeStyle = "#ff0000";
ctx.stroke();

得到这个:

但我意识到我遗漏了一些基本的数学概念。感谢您提供的任何见解! 我的基本问题是:如何在给定距中心一定距离的情况下选择 z 轴上的点？

Answer 1

将 3 个维度转换为 2 个维度

轴告诉我们如何移动

要在第一维 x 中找到一个点，请沿 x 轴从左到右移动。要在第二个维度 y 中找到一个点，您必须整合第一个和第二个维度，因此从左到右的第一个 x，一旦有了它，然后沿着屏幕的 y 轴向下找到第二个。

对于每个维度，您都依赖于前一个维度的定位。它还依赖于轴，x 轴和 y 轴彼此成 90 度 Angular ，但它们可能是 45 度或 120 度，这对找到一个点的二维坐标没有任何影响。首先沿着 X 轴，然后沿着 Y 轴。

向量函数

因为显示只是二维的，所以轴可以表示为二维向量。矢量的长度表示轴的比例。因此，对于 x 轴，如果我将轴定义为 2D(显示坐标)向量 (2,0)，那么我是说 x 坐标中的每个单位跨度为 2，向下为 0。如果我想在 x 坐标 10 处，我将它乘以轴以获得屏幕位置。

因此代码...

function screenCoord(x,y){  // creates a coordinate in screen space
                            // screen space is always in pixels
                            // screen space always has the origin (0,0) at the top left
    return {
       x : x,
       y : y,
    }
}

function screenVector(x,y){ // a vector in screen space it points in a direction
                            // and its is in pixels 
    return {                // basically identical to the last function 
       x : x,
       y : y,
    }
}

所以让我们定义我将 (2,0) 放大 2 倍的 X 轴

var xAxis = screenVector(2,0);

现在 x 位置说 10

var xPos = 10

要找到它的位置，我们需要获得沿 x 轴的屏幕坐标。我们通过将 xAxis 乘以 xPos 来实现。为了更容易，我们可以创建一个向量乘法函数

function multiply(vector, value){
     var x = vector.x * value; // multiply the vector x by value
     var y = vector.y * value; // multiply the vector y by value
     return screenCoord(x,y)
}

现在求xPos的第一维pos

var screenPos = multiply(xAxis, xPos); // returns the screen position of x = 10

现在要进行第二个维度，我们将其添加到前一个维度中。让我们定义一个函数来将一个向量添加到另一个向量

function add(vector1, vector2){ // adds two vectors returning a new one
     var x = vector1.x + vector2.x;
     var y = vector1.y + vector2.y;
     return screenCoord(x,y);
}

现在让我们创建 y 轴

var yAxis = new screenVector(0,2); // y goes down the screen and has no x change

和y位置

var posY = 10;

现在让我们从 x 开始

var screenPosX = multiply(xAxis,posX); // get the x position on the screen
var screenPosY = multiply(yAxis,posY); // get the y position on the screen

现在我们把两个坐标的结果相加

var screenXY = add(screenPosX,screenPosY);

我们在屏幕上有一个 x = 10 和 y = 10 的坐标(在这种情况下，它位于像素位置 20，横跨 20 向下。

第三维度

现在不难猜测第 3 个 z 维度会发生什么。对于 x 沿 x 轴，然后 y 沿 y 轴，然后 z 沿 z 轴

所以定义z轴

var yAxis = new screenVector(1,-1); // z axis along the diagonal from bottom left to top right

现在是 z 坐标

var posZ = 10;

所以要找到我们的 3d 位置，x 沿其轴，然后沿其添加 y，然后沿其轴添加 z

var screenPosX = multiply(xAxis,posX); // get the x position on the screen
var screenPosY = multiply(yAxis,posY); // get the y position on the screen
var screenPosZ = multiply(zAxis,posZ); // get the z position on the screen

需要将它们加在一起

var screenXY = add(screenPosX,screenPosY);

然后 z

var screenXYZ = add(screenPosXY,screenPosZ);

然后您将了解如何将一组坐标转换为另一组坐标。它被称为变换

起源

我们缺少最后一点信息。起源。这是坐标 0,0,0 (x,y,z) 在屏幕上的位置。它是转换的最后一部分，在屏幕坐标 (x,y) 中

var origin = screenCoords(100,500); // set the origin at 100 pixels across 500 down

从上次计算我们得到了屏幕空间的screenXYZ坐标，我们需要给它加上原点

screenXYZ = add(screenXYZ ,origin);

现在您可以在 2d 屏幕上从原点在坐标 (10,10,10) (x,y,z) 处绘制像素。

黑客帝国

如果您了解您刚刚学会了如何使用 3D 变换矩阵，希望对您有所帮助。它将 x、y、z 轴作为一组三个 2D 方向，以及原点坐标。矩阵执行完全相同的功能步骤，只是它在一个简单的数组中执行，这使得它更有效，并且遵循一些矩阵规则允许非常复杂的转换。例如，如果你想旋转，你需要做的就是改变轴的方向并且你已经旋转了对象。改变比例只需改变轴的长度，移动物体只需改变原点的位置。