c++ - 简化模幂 C++

Question

我正在尝试为 RSA 加密系统编写解密函数，对于非常小的数字，一切似乎都工作正常，但有时输出不正确(我认为原因可能是浮点错误或某种堆栈溢出)。

导致我出现问题的过程可以简化为 (11^23) mod 187，但我将包含完整代码以防有人想看。我知道答案应该是 88，因为它是 Simon Singh 博士在“The Code Book”的附录 J 中使用的示例(我还使用 Wolfram Alpha 进行了检查)。然而，我得到了 149 的结果。然而，对于较小的数字，它与 Wolfram Alpha 一致。

我的想法是我需要使用以下知识来简化模幂运算:

a^b = a^c * a^d [ 其中 c + d = b ]

但是，我仍然不能 100% 确定这是否是这个问题，这是我的第一个堆栈溢出吗？ (我仍然不是 100% 确定这意味着什么)。在有人问我之前，不，这不是任何类型的家庭作业，如果这个问题看起来微不足道，我很抱歉。如果每个人都认为这太难做到，我愿意使用 gmp.h，但如果我完全诚实的话，我宁愿不使用。我的代码在下面(前半部分是计算私钥，我认为这与我遇到的问题无关，但我已经包含它以防万一我错了)，我真的希望你们能帮忙，谢谢你非常提前。

#include <iostream>
#include <math.h>

using namespace std;

unsigned int modinv(unsigned int u, unsigned int v)
{
    unsigned int inv, u1, u3, v1, v3, t1, t3, q;
    int iter;

    u1 = 1;
    u3 = u;
    v1 = 0;
    v3 = v;

    iter = 1;

    while (v3 != 0)
    {

        q = u3 / v3;
        t3 = u3 % v3;
        t1 = u1 + q * v1;

        u1 = v1; v1 = t1; u3 = v3; v3 = t3;
        iter = -iter;
    }

    if (u3 != 1)
        return 0;
    if (iter < 0)
        inv = v - u1;
    else
        inv = u1;
    return inv;
}

int main()
{ long unsigned int p = 17;
long unsigned int q = 11;
long unsigned int phi = (p-1)*(q-1);
long unsigned int e = 7;
long unsigned int c = 11;
long unsigned int n = p*q;
long unsigned int d = modinv (e,phi);
    {
         cout << fmod (pow (c, d), n);
    }
    return 0;
}

Answer 1

11^23 大约等于 2^80。只有 2^53 以内的整数才能精确表示为 double float 。因此 fmod(pow(c, d), n)) 返回一个近似值。这不适用于密码学。

已添加您可以使用重复平方进行模幂运算。查看维基百科关于“通过平方求幂”的文章