在两个大整数相乘期间捕获并计算溢出

Question

我正在寻找一种有效(可选标准、优雅且易于实现)的解决方案来乘以相对较大的数字，并将结果存储为一个或多个整数:

假设我有两个这样声明的 64 位整数:

uint64_t a = xxx, b = yyy; 

当我执行 a * b 时，如何检测该操作是否导致溢出并在这种情况下将进位存储在某处？

请注意，我不想使用任何大数库，因为我对存储数字的方式有限制。

Answer 1

<强>1。检测溢出:

x = a * b;
if (a != 0 && x / a != b) {
    // overflow handling
}

编辑:固定除以0 (感谢马克!)

<强>2。计算进位非常复杂。一种方法是将两个操作数拆分为半字，然后应用 long multiplication到半字:

uint64_t hi(uint64_t x) {
    return x >> 32;
}

uint64_t lo(uint64_t x) {
    return ((1ULL << 32) - 1) & x;
}

void multiply(uint64_t a, uint64_t b) {
    // actually uint32_t would do, but the casting is annoying
    uint64_t s0, s1, s2, s3; 
    
    uint64_t x = lo(a) * lo(b);
    s0 = lo(x);
    
    x = hi(a) * lo(b) + hi(x);
    s1 = lo(x);
    s2 = hi(x);
    
    x = s1 + lo(a) * hi(b);
    s1 = lo(x);
    
    x = s2 + hi(a) * hi(b) + hi(x);
    s2 = lo(x);
    s3 = hi(x);
    
    uint64_t result = s1 << 32 | s0;
    uint64_t carry = s3 << 32 | s2;
}

为了确保部分和本身不会溢出，我们考虑最坏的情况:

        x = s2 + hi(a) * hi(b) + hi(x)

让B = 1 << 32 .那么我们有

            x <= (B - 1) + (B - 1)(B - 1) + (B - 1)
              <= B*B - 1
               < B*B

我相信这会奏效——至少它可以处理 Sjlver 的测试用例。除此之外，它未经测试(甚至可能无法编译，因为我手边没有 C++ 编译器)。