python - 圣人情节斜率场和微分方程

Question

我正在尝试在 Sage Notebook 中绘制斜率场和几个独特的解决方案，但我的斜率场与解决方案不匹配。

c = var('c')
y = (ln(x)+c)/x
show(y)
p1 = plot_slope_field( y, (x,0,5), (c,-5,5))

for i in range(-5,5):
    p1 = p1 + plot(y(c=i),x,0,5, ymin=-5, ymax=5)
p1

p1

我希望斜率场近似于附近函数的斜率，但它们似乎根本不匹配。

Answer 1

斜率不应包含积分常数。斜率场是微分方程y'=f(x,y) 的矢量场(1,f(x,y))。因此，您需要通过消除常数 c 来找到函数族的 ODE。

对于方程

y = (ln(x)+c)/x

常量c的隔离给出

c = xy - ln(x)

和导数方程/隐式 ODE

0 = xy' + y - 1/x

因此坡度字段应该用于斜坡

y' = f(x,y) = -y/x + 1/(x*x)

---

x = var('x')
y = var('y')
c = var('c')
ysol = (ln(x)+c)/x
show(ysol)
p1 = plot_slope_field( -y/x+1/(x*x), (x,0,5), (y,-5,5))

for i in range(-5,5):
    p1 = p1 + plot(ysol(c=i),x,0,5, ymin=-5, ymax=5)
p1