python - 如何计算从 1 到 N 的一系列数字的所有可能组合的数量？

Question

除此之外:

from itertools import combinations
def brute_force(x):
    for l in range (1,len(x)+1):
        for f in list(combinations(range(0,len(x)),l)):
            yield f
x = range(1,18)
len(list(brute_force(x)))

[输出]:

131071

• 我如何从数学上计算出所有可能组合的数量？

• 有没有一种方法可以在不枚举可能的组合的情况下进行计算？

Answer 1

总有 2ⁿ−1 集合 {1,...,n} 的非空子集。

例如考虑列表['a','b','c']:

>>> [list(combinations(['a','b','c'],i)) for i in range(1,4)]
[[('a',), ('b',), ('c',)], [('a', 'b'), ('a', 'c'), ('b', 'c')], [('a', 'b', 'c')]]
>>> l=[list(combinations(['a','b','c'],i)) for i in range(1,4)]
>>> sum(map(len,l))
7

我们列表的长度是 3，所以我们有 2³-1=7 种组合。

对于 range(10) :

>>> l=[list(combinations(range(10),i)) for i in range(1,11)]
>>> sum(map(len,l))
1023      #2^10-1 = 1024-1=1023

请注意，如果您想计算空子集，您可以使用 2^n。

其实从数学的角度来看:

a k-combination of a set is a subset of k distinct elements of S. If the set has n elements, the number of k-combinations is equal to the binomial coefficient :

对于所有组合: