python - 圣人中的多元多项式除法

Question

我尝试使用 sage 对两个变量中的多项式进行简单除法。 不幸的是，我得到了意想不到的结果，如下面的代码所示。 我尝试了几种不同的方法来实例化环及其变量，但是 结果保持不变。使用 % 运算符获取除法的其余部分会产生相同的结果。有什么想法吗？

R, (x, y) = PolynomialRing(RationalField(), 2, 'xy').objgens()
t = x^2*y^2 + x^2*y - y + 1
f1 = x*y^2 + x
f2 = x*y - y^3

(q, r) = t.quo_rem(f1)
print "quotient:", q, "reminder:", r
assert q == x and r == x^2*y-x^2-y+1

(q, r) = r.quo_rem(f2) # error, expected q = x, r = -x^2+x*y^3-y+1
print "quotient:", q, "reminder:", r
assert q == x and r == -x^2+x*y^3-y+1

输出:

quotient: x reminder: x^2*y - x^2 - y + 1
quotient: 0 reminder: x^2*y - x^2 - y + 1

---------------------------------------------------------------------------
AssertionError                            Traceback (most recent call last)
<ipython-input-8-861e8a9d1112> in <module>()
     10 (q, r) = r.quo_rem(f2) # error, expected q = x, r = -x^2+x*y^3-y+1
     11 print "quotient:", q, "reminder:", r
---> 12 assert q == x and r == -x**Integer(2)+x*y**Integer(3)-y+Integer(1)

AssertionError: 

Answer 1

多元多项式的除法:项序

多元多项式的除法结果取决于所选择的单项式顺序，如 explained in Wikipedia .目前，当且仅当 P 包含可被 Q 的前导单项式整除的单项式时，就足以说明 P 除以 Q 的商是非零的。相对于所选顺序。

默认情况下，Sage 中的多项式环使用度数逆字典顺序(简称 degrevlex)，其中单项式首先按总度数排序，然后在每个度数内按字典顺序排序。您可以使用 R.term_order() 进行检查。这是the list of term orders .

在 degrevlex 顺序中，y^3 在 x*y 之前，因为它具有更高的总度数。由于 x^2*y-x^2-y+1 没有可被 y^3 整除的单项式，因此商数为零。

buggy 现状

您的预期结果与单项式的字典顺序 (lex) 一致。因此，似乎解决方法是在构建 R 时指定词典术语顺序:

R.<x,y> = PolynomialRing(QQ, 2, 'xy', order='lex') 

不幸的是，quo_rem 忽略了 R 的词序，仍然使用 degrevlex。这似乎是一个错误，无论是在 Sage 与 Singular 通信的方式中，还是在 Singular 本身中(the Quotient command is deprecated)。

解决方法

同时，有一个解决方法:使用 reduce 命令代替 quo_rem，因为它尊重 R 的术语顺序。例如:

R.<x,y> = PolynomialRing(QQ, 2, 'xy', order='lex')
a = x^2*y-x^2-y+1
f2 = x*y-y^3
r = a.reduce(Ideal([f2]))
q = (a-r)/f2 

返回 r = -x^2 + x*y^3 - y + 1 和 q = x。