python - 在Python中证明傅里叶变换运算

Question

我有一个时域表达式

f = -1j*H(t) * exp(-(1j*a+b)*t)

可以使用 known properties 进行傅立叶分析变换(H 是 Heaviside 阶跃函数)。这次FT运算的结果是

F = (w-a-1j*b)/((w-a)**2+b**2)

其中w是频率。

现在我正在使用 this article 中的提示在Python中对f进行数值傅里叶变换，并确认我确实得到了相同的分析结果F:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

t = np.linspace(-10,10,1e4) # time
w = np.linspace(-10,10,1e4) # frequency

b = 0.1
a = 1

H = lambda x: 1*(x>0) # heaviside function

# function in time
f = -1j*H(t)*np.exp(-(1j*a+b)*t)

# function in frequency (analytical work)
F = (w-a-1j*b)/((w-a)**2+b**2)

hann = np.hanning(len(t))  # hanning window

# function in frequency (numerical work)
F2 = 2/len(t)*np.fft.fft(hann*f)

plt.figure()
plt.plot(w,F.real,'b',label='analytical')
plt.plot(w,F2.real,'b--',label='fft')
plt.xlabel(r'$\omega$')
plt.ylabel(r'Re($F(\omega)$)')
plt.legend(loc='best')

plt.figure()
plt.plot(w,F.imag,'g',label='analytical')
plt.plot(w,F2.imag,'g--',label='fft')
plt.xlabel(r'$\omega$')
plt.ylabel(r'Im($F(\omega)$)')
plt.legend(loc='best')

plt.show()

然而Python的FFT函数似乎给了我一些完全错误的东西。当绘制 F 和 F2 时，这一点很明显。

编辑:这是情节...

在这些图中并不明显，但如果放大 w=-10 和 10 区域，就会出现小幅振荡，可能是由于 fft 算法。

Answer 1

FFT 算法计算 DFT，其原点(空间域和频域)位于第一个样本上。您需要移动信号(在应用汉宁窗之后)，以便 t=0 是最左边的样本，并且在计算 FFT 后，您必须进行反向移动。

MATLAB 有 ifftshift 和 fftshift，它们实现了这两个转变。 NumPy 一定有类似的功能。

代码的另一个问题是您计算 DFT，并将其绘制在您计算的 w 给出的位置，但与计算 DFT 的实际频率无关。

这是您的代码，已转换为 MATLAB，并已修复以正确计算 F2 和 w *。我希望这有用。需要注意的一点是，您的 F 与 F2 不匹配，我确信这不是由于 F2 中的错误，而是由于F 计算出错。形状相似，但 F 的缩放比例和镜像不同。

N = 1e3;
t = linspace(-100,100,N); % time
Fs = 1/(t(2)-t(1));
w = Fs * (-floor(N/2):floor((N-1)/2)) / N; % NOTE proper frequencies

b = 0.1;
a = 1;

H = @(x)1*(x>0); % Heaviside function

% function in time
f = -1j*H(t).*exp(-(1j*a+b)*t);

% function in frequency (analytical work)
F = (w-a-1j*b)./((w-a).^2+b.^2);

% hanning window
hann = 0.5*(1-cos(2*pi*linspace(0,1,N)));

% function in frequency (numerical work)
F2 = fftshift(fft(ifftshift(hann.*f))); % NOTE shifting of origin

figure

subplot(2,1,1), hold on
plot(w,real(F),'b-')
plot(w,real(F2),'r-')
xlabel('\omega')
ylabel('Re(F(\omega))')
legend({'analytical','fft'},'Location','best')

subplot(2,1,2), hold on
plot(w,imag(F),'b-')
plot(w,imag(F2),'r-')
xlabel('\omega')
ylabel('Im(F(\omega))')
legend({'analytical','fft'},'Location','best')

<sup>脚注:
* 我还改变了颜色，MATLAB的绿色太浅了。</sup>