python - 联合正态先验分布的后验

Question

我有一些关于高斯推理的基本问题。

我有以下数据:

(Log) dose, Number of animals, Number of deaths
-0.86, 5, 0
-0.30, 5, 1
-0.05, 5, 3
0.73, 5, 5

编辑:我假设剂量 react logit(θ) = α + βx 的简单回归模型，其中 logit(θ) = log(θ/(1-θ))。 θ 代表给予 x 剂量的死亡概率。

我想在 (α,β) 上创建一个联合正态先验分布，其中 α ∼ N(0,22),β ∼ N(10,102)，并且 corr(α,β) = 0.5，然后计算后验分布先验周围点网格中的密度(α:0 ± 4，β:10 ± 20)。

首先，我创建了以下联合正态先验分布:

import numpy as np
from scipy import stats
x = np.array([-0.86, -0.30, -0.05, 0.73])
n = np.array([5, 5, 5, 5])
y = np.array([0, 1, 3, 5])
prior = stats.multivariate_normal([0, 10], [[0.5, 0], [0, 0.5]])

这是正确的吗？

第二，如何计算网格中的后验密度？

Answer 1

根据merv的良好回答，回答我自己，我认为封闭的解决方案是:

p(yi|α,β,ni,xi)∝ [logit⁻¹(α+βxi)]^y * [1 − logit⁻¹(α+βx)^n−y]

因此后验可以计算如下:

import numpy as np
from scipy import optimize, stats
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.array([-0.86, -0.30, -0.05, 0.73])
n = np.array([5, 5, 5, 5])
y = np.array([0, 1, 3, 5])

ngrid = 100
mu_1, mu_2, sd_1, sd_2 = 0, 10, 2**2, 10**2
A = np.linspace(-4, 4, ngrid)
B = np.linspace(-10, 30, ngrid)

mu = np.array([0, 10])
s = np.array([[22, 102]])
Rho = np.array([[1, 0.5], [0.5, 1]])
Sigma = Rho * np.outer(s, s)
prior = stats.multivariate_normal([mu_1, mu_2], Sigma)

def prop_likelihood(input_values):
    ilogit_abx = 1 / (np.exp(-(input_values[...,0][...,None]*np.ones(x.shape) + input_values[...,1][...,None] * x)) + 1)
    return np.prod(ilogit_abx**y * (1 - ilogit_abx)**(n - y), axis=ilogit_abx.ndim -1)

grid_a , grid_b = np.meshgrid(A,B)
grid = np.empty(grid_a.shape + (2,)) 
grid[:, :, 0] = grid_a
grid[:, :, 1] = grid_b

posterior_density = prior.pdf(grid)*prop_likelihood(grid)

这可以说明:

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5)
ax.imshow(
    posterior_density,
    origin='lower',
    aspect='auto',
    extent=(A[0], A[-1], B[0], B[-1])
)
ax.set_xlim([-4, 4])
ax.set_ylim([-10, 30])
ax.set_xlabel(r'$\alpha$')
ax.set_ylabel(r'$\beta$')
ax.set_title('Posterior heatmap')
ax.grid('off')

解析解:

def opt(params):
    a, b  = params[0], params[1]
    z = np.exp(a + b * x) / (1 +  np.exp(a + b * x))
    e = - np.sum(y * np.log(z) + (n - y) * np.log(1 - z))
    return e

optim_res = optimize.minimize(opt, np.array([0.0, 0.0]))
mu_opt = optim_res['x']
sigma_opt = optim_res['hess_inv']
posterior_optimized = stats.multivariate_normal(mean=mu_opt, cov=sigma_opt)

然后可以绘制它

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5)
ax.imshow(
    posterior_optimized.pdf(grid),
    origin='lower',
    aspect='auto',
    extent=(A[0], A[-1], B[0], B[-1])
)
ax.set_xlim([-4, 4])
ax.set_ylim([-10, 30])
ax.set_xlabel(r'$\alpha$')
ax.set_ylabel(r'$\beta$')
ax.set_title('Posterior heatmap from analytical solution')
ax.grid('off')

有一些差异。不确定分析优化函数是否正确。

希望这对其他人有帮助。