c# - 奇异值分解——社会网络分析

Question

我有一个非常大的节点网络，由邻接矩阵表示。我想减少网络中的节点数量以包含更重要的节点。我知道 SVD 可以帮助我实现这一目标，并且我已经使用 ILNumerics 库在邻接矩阵上运行 svd() 方法。

有人可以简单地向我解释输出是如何帮助我减少网络维度的吗？ SVD 过程给我留下了一个大小相同的矩阵，其值对角线递减，范围从 ~2 到许多 0。我如何知道要删除哪些维度，哪些维度被认为不重要？

我可能总体上错误地执行了此过程，因此将不胜感激任何帮助!许多在线解释很快就会变得非常困惑。

Answer 1

我对 ILNumerics 不太熟悉，所以我将尝试解释 SVD 在您的情况下通常能够做什么。首先，Wikipedia给出了 SVD 可能应用的一些基本信息。在您的情况下，关于“范围、零空间和秩”和“低秩矩阵近似”的部分特别令人感兴趣。奇异值分解可以帮助您确定系统矩阵的真实 秩。如果邻接图是稀疏的，则系统矩阵(例如 N 乘以 N 的矩阵)的秩 M 可能小于 N。在这种情况下，您可以计算它的低秩近似值。也就是说，您构造了 M 乘以 M (M < N)，您忽略了 N - M 最小的特征值，因为它们对您的结果的影响非常小。在这种情况下，小意味着什么当然在很大程度上取决于您的应用。

编辑:在您的示例数据中，您的原始矩阵 A 已分解为 A = outU svdOut outV。对角矩阵 svdOut 由 A 的特征值奇异值组成，而 outU 和 outV 的列/行分别是 A 的左奇异向量和右奇异向量。在您的示例中，奇异值为 1.61803、1.41421、0.61803 和 0(两次)。因此，原始矩阵的等级由非零奇异值的数量给出(在您的示例中为三个)。因此，您可以定义一个矩阵 B = outU svdOut* outV，其中星号表示已删除最不重要的奇异值。例如，您可以决定要忽略最小的特征值，因此

svdOut* =
| 1.61803  0        0  0  0 | 
| 0        1.41421  0  0  0 | 
| 0        0        0  0  0 |
| 0        0        0  0  0 |
| 0        0        0  0  0 |

但是，再考虑之后，我认为你的邻接矩阵的 SVD 不会直接给你你要找的东西。您必须以某种方式定义在您的上下文中什么是重要节点。

Edit2(回应以下评论):SVD 不会为您提供关于节点的直接信息，而是关于矩阵的信息。奇异向量形成一个标准正交基，可用于以不同形式表达原始矩阵。奇异值为您提供有关每个向量的影响有多强的信息。同样，Wikipedia可能会帮助您了解如何解释这一点。 回到您最初的问题，我认为简单的 SVD 并不是您真正想要的。