c# - 锥线段相交 2D

Question

我想知道是否有任何方法可以确定圆锥体是否与(有限)线段相交。圆锥体实际上是一个位于 P(x,y) 处，视场角为 θ，半径为 r 的圆:

我正在尝试用 C# 来做，但我不知道该怎么做，所以现在我正在做的是:

1. 检查线段是否与圆相交；
2. 如果线段与圆相交，那么我使用找到的函数检查线段中的每个点 here .

但我认为这不是最好的方法。有人有想法吗？

有关其他信息，我需要此功能来制作某种简单的视觉模拟器。

Answer 1

使用 Polar Co-ordinates可能有帮助。在这里，不是将点表示为 (x,y)，而是将其表示为 (r, angle)，其中 r 是距原点的距离，angle 是与所选轴形成的角度(对应于角度 0)。

在您的情况下，如果您将 P(x,y) 设置为原点，并将圆锥体的一条射线设置为 angle = 0 并找到线段端点的极坐标，例如 (r1, ang1) 和 (r2, ang2) 那么你需要满足以下四个条件才能使线段完全在圆锥内(包括边界)。

r1 <= r
r2 <= r

ang1 <= theta
ang2 <= theta

其中 r 是圆锥体的半径，theta 是视角，您选择轴以便逆时针旋转给出相应的正角度。

在极坐标和 (x,y)(称为矩形)坐标之间切换很容易，您可以在我上面提供的 wiki 链接上找到它。

为了确定线段的任何点是否与曲线相交，您可以使用此处给出的线的极坐标方程:Link

我们可以使用极坐标范式

R = p sec(ang - omega)

给定线段的两个端点，我们可以计算出 p 和 omega，如下所示:

我们有

p = r1 * cos(ang1-omega) = r2*cos(ang2-omega)

使用 cos(x-y) = cos(x)*cos(y) + sin(x)*sin(y) 我们得到

[r1*cos(ang1) - r2*cos(ang2)] * cos(omega) =  [r2*sin(ang2) - r1*sin(ang1)] * sin(omega)

因此您可以计算 tan(omega) = sin(omega)/cos(omega) 并使用 arctan(tan 的反函数)来获得值欧米茄。一旦知道什么是 omega，就可以求解 p。

现在我们需要知道这条线上是否有一些 (R, ang) 组合使得

R <= r
0 <= ang <= theta
min{ang1, ang2} <= ang <= max{ang1, ang2}

(注r为圆锥半径，theta为视角，ang1为P1角度，ang2为P2角度)

方程可以改写为

Rcos(ang-omega) = p

现在 cos(ang-omega) 在单调性方面是一个表现非常好的函数，您只需要在 [min{ang1, ang2}, max{ang1, ang2}] 区间内考虑它。

您应该能够先进行一些手动操作，以简化您的代码。

剩下的就交给你了。