c# - 离散傅里叶变换

Question

我目前正在尝试编写一些傅里叶变换算法。我从一个简单的 DFT 算法开始，如数学定义中所述:

public class DFT {
    public static Complex[] Transform(Complex[] input) {
        int N = input.Length;

        Complex[] output = new Complex[N];

        double arg = -2.0 * Math.PI / (double)N;
        for (int n = 0; n < N; n++) {
            output[n] = new Complex();
            for (int k = 0; k < N; k++)
                output[n] += input[k] * Complex.Polar(1, arg * (double)n * (double)k);
        }
        return output;
    }
}

所以我用下面的代码测试了这个算法:

    private int samplingFrequency = 120;
    private int numberValues = 240;

    private void doCalc(object sender, EventArgs e) {
        Complex[] input = new Complex[numberValues];
        Complex[] output = new Complex[numberValues];

        double t = 0;
        double y = 0;
        for (int i = 0; i < numberValues; i++) {
            t = (double)i / (double)samplingFrequency;
            y = Math.Sin(2 * Math.PI * t);
            input[i] = new Complex(y, 0);
        }

        output = DFT.Transform(input);

        printFunc(input);
        printAbs(output);
    }

转换工作正常，但前提是 numberValues 是 samplingFrequency 的倍数(在本例中:120、240、360 等)。这是我对 240 个值的结果:

转换效果很好。

如果我尝试计算 280 个值，我会得到以下结果:

如果更改计算值的数量，为什么会得到不正确的结果？ 我不确定我这里的问题是我的代码有问题还是对DFT的数学定义有误解。无论哪种方式，任何人都可以帮助我解决我的问题吗？谢谢。

Answer 1

您遇到的是Spectral Leakage .

这是因为傅立叶变换的基础数学假设了一个从-无穷大到+无穷大的连续函数。因此，您提供的样本范围会有效地重复无限次。如果您在窗口中没有完整的波形周期数，那么两端将不会对齐，您会得到一个不连续点，它表现为频率向两边扩散。

处理此问题的正常方法称为 Windowing .然而，这确实有一个缺点，因为它会导致振幅略微偏离。这是将您要处理的样本的整个窗口乘以某个函数的过程，该函数在窗口的两端趋向于 0，导致两端对齐但具有一些幅度失真，因为此过程降低了总信号功率。

总而言之，您的代码没有错误，结果符合预期。可以使用窗口函数减少伪影，但这会影响振幅的准确性。您需要调查并确定哪种解决方案最适合您的项目要求。