python - 用 SVD 计算 spinv

Question

背景

我正在从事一个涉及求解大型欠定方程组的项目。

我当前的算法计算表示给定系统的矩阵的 SVD (numpy.linalg.svd)，然后使用其结果计算 Moore-Penrose 伪逆和矩阵的右零空间。我使用零空间来查找具有唯一解的所有变量，并使用伪逆来找出它的值。

但是，MPP(Moore Penrose 伪逆)非常密集，对于我的服务器来说有点太大了，无法处理。

问题

我找到了以下 paper其中详细说明了一个更稀疏的伪逆，它保持了 MPP 的大部分基本属性。这显然对我很感兴趣，但我只是没有数学背景来理解他是如何计算伪逆的。可以用SVD计算吗？如果不是，最好的方法是什么？

详情

这些是我认为可能相关的论文内容，但我还不够陈旧，无法理解

• spinv(A) = arg min ||B||受制于 BA = 其中 ||B||表示 B 的 entrywise l1 范数

• 这通常是一个不易处理的问题，因此我们使用具有 l1 范数的标准线性松弛

• sspinv(A) = ητ {[spinv(A)]}，其中 ητ (u) = u1|u|≥τ

编辑

找到我的代码和更多关于实际实现的细节here

Answer 1

据我了解，论文中是这样描述稀疏伪逆的:

它说

We aim at minimizing the number of non-zeros in spinv(A)

这意味着您应该采用 L0 范数(参见 David Donoho 的定义 here:非零条目的数量)，这使得问题变得棘手。

spinv(A) = argmin ||B||_0 subject to B.A = I

所以他们求助于这个问题的凸松弛，这样就可以用线性规划来解决了。

This is in general a non-tractable problem, so we use the standard linear relaxation with the `1 norm.

那么放松的问题就是

spinv(A) = argmin ||B||_1 服从 B.A = I (6)

这有时称为 Basis pursuit并倾向于生成稀疏解(请参阅 Boyd 和 Vandenberghe 的 Convex Optimization，6.2 最小范数问题部分)。

那么，解决这个轻松的问题。

The linear program (6) is separable and can be solved by computing one row of B at a time

所以，你可以通过解决下面形式的一系列问题来获得解决方案。

spinv(A)_i = argmin ||B_i||_1 服从 B_i.A = I_i

其中 _i 表示矩阵的第 i 行。

参见 here了解如何将这个绝对值问题转换为线性规划。

在下面的代码中，我将问题稍微修改为 spinv(A)_i = argmin ||B_i||_1 subject to A.B_i = I_i where _i是矩阵的第 i 列，因此问题变为 spinv(A) = argmin ||B||_1 subject to A.B = I。老实说，我不知道两者之间是否有区别。这里我使用了 scipy 的 linprog 单纯形法。我不知道单纯形法的内部结构是否使用 SVD。

import numpy as np
from scipy import optimize

# argmin ||B_i||_1 stubect to A.B_i = I_i, where _i is the ith column
# let B_i = u_i - v_i where u_i >= 0 and v_i >= 0
# then ||B_i||_1 = [1' 1'][u_i;v_i] which is the objective function
# and A.B_i = I_i becomes
# A.[u_i - v_i] = I_i
# [A -A][u_i;v_i] = I_i which is the equality constraint
# and [u_i;v_i] >= 0 the bounds
# here A is n x m (as opposed to m x n in paper)

A = np.random.randn(4, 6)
n, m = A.shape
I = np.eye(n)

Aeq = np.hstack((A, -A))
# objective
c = np.ones((2*m))
# spinv
B = np.zeros((m, n))

for i in range(n):
    beq = I[:, i]
    result = optimize.linprog(c, A_eq=Aeq, b_eq=beq)
    x = result.x[0:m]-result.x[m:2*m]
    B[:, i] = x

print('spinv(A) = \n' + str(B))
print('pinv(A) = \n' + str(np.linalg.pinv(A)))
print('A.B = \n' + str(np.dot(A, B)))

这是一个输出。 spinv(A) 比 pinv(A) 更稀疏。

spinv(A) = 
[[ 0.         -0.33361925  0.          0.        ]
 [ 0.04987467  0.          0.12741509  0.02897778]
 [ 0.          0.         -0.52306324  0.        ]
 [ 0.43848257  0.12114828  0.15678815 -0.19302049]
 [-0.16814546  0.02911103 -0.41089271  0.50785258]
 [-0.05696924  0.13391736  0.         -0.43858428]]
pinv(A) = 
[[ 0.05626402 -0.1478497   0.19953692 -0.19719524]
 [ 0.04007696 -0.07330993  0.19903311  0.14704798]
 [ 0.01177361 -0.05761487 -0.23074996  0.15597663]
 [ 0.44471989  0.13849828  0.18733242 -0.20824972]
 [-0.1273604   0.15615595 -0.24647117  0.38047901]
 [-0.04638221  0.09879972  0.21951122 -0.33244635]]
A.B = 
[[ 1.00000000e+00 -1.82225048e-17  6.73349443e-18 -2.39383542e-17]
 [-5.20584593e-18  1.00000000e+00 -3.70118759e-16 -1.62063433e-15]
 [-8.83342417e-18 -5.80049814e-16  1.00000000e+00  3.56175852e-15]
 [ 2.31629738e-17 -1.13459832e-15 -2.28503999e-16  1.00000000e+00]]

To further sparsify the matrix, we can apply entrywise hard thresholding, thus sacrificing the inverting property and computing an approximate sparse pseudoinverse

如果你不想在 sparse-pinv 中保留小条目，你可以像这样删除它们:

Bt = B.copy()
Bt[np.abs(Bt) < 0.1] = 0
print('sspinv_0.1(A) = \n' + str(Bt))
print('A.Bt = \n' + str(np.dot(A, Bt)))

得到

sspinv_0.1(A) = 
[[ 0.         -0.33361925  0.          0.        ]
 [ 0.          0.          0.12741509  0.        ]
 [ 0.          0.         -0.52306324  0.        ]
 [ 0.43848257  0.12114828  0.15678815 -0.19302049]
 [-0.16814546  0.         -0.41089271  0.50785258]
 [ 0.          0.13391736  0.         -0.43858428]]
A.Bt = 
[[ 9.22717491e-01  1.17555372e-02  6.73349443e-18 -1.10993934e-03]
 [ 1.24361576e-01  9.41538212e-01 -3.70118759e-16  1.15028494e-02]
 [-8.76662313e-02 -1.36349311e-02  1.00000000e+00 -7.48302663e-02]
 [-1.54387852e-01 -3.27969169e-02 -2.28503999e-16  9.39161039e-01]]

如果您需要更多详细信息，希望我回答了您的问题并提供了足够的引用资料。如果您有任何问题，请告诉我。我不是专家，所以如果您对我的主张有任何疑问，您可以随时向数学堆栈交换方面的专家询问(当然没有任何代码)，请让我知道。

这是一个有趣的问题。它使我能够复习我的线性代数和我所知道的很少的优化，所以谢谢你:)