c - fmod 十进制数的最佳方法是什么？

Question

我的问题是从模计算中获得最准确的结果，我得到余数答案以进行另一次舍入计算，因此我确实需要一个准确的结果。

double a = 0.12345678...(可能有很多数字)；

double b = fmod(a, 0.01);

结果 b 可能不准确处理二进制存储问题。

我是否必须考虑使用 float 来提高准确性。 或者我只是将数字从小数点移动到整数

双 a = 12345678.0;

谢谢

Answer 1

首先，任何严格的 fmod 实现都会以单精度/ double /任何精度回答最接近余数的 float ，就好像以无限精度执行除法一样。 (注意:感谢@EricPostpischil 改写)

不过，那已经太晚了。 0.01 的二进制浮点内部表示并不完全像您已经知道的那样表示 1/100。

让我们检查错误是如何累积的。

你想知道除法的余数，比如 a % b = c .

您有不精确的表示 a1 和 b1，并且您知道这些表示的错误界限:a1=a+ea1 , abs(ea1) < ea , b1=b+eb1 , abs(eb1) < eb .

关于 a1 % b1 = c1，你有什么想说的吗？ (确切的操作)，c1=c+ec1那是关于错误界限abs(ec1) < ec ？

a = q * b + c.
a1 = q1 * b1 + c1.
a+ea1 = (q+eq1)*(b+eb1) + (c+ec1).
ea1 = eq1*(b+eb1) + q*eb1 + ec1.
ec1 = ea1 - q*eb1 - eq1*(b+eb1).
ec >= max( ea , abs(q)*eb , eq*abs(b) , eq*eb).
ec <= ea + abs(q)*eb + eq*abs(b) + eq*eb.

你可以控制ea和 abs(q)*eb通过提高表示精度(单倍、双倍、扩展、四倍、任意精度...)。

但是这个等式中的重要术语是 eq*abs(b) ，因为如果商可以减一，那么误差范围是 ec > b !

当然，商可以减一，这种情况非常容易构造。 取c=0和 a1表示关闭 a默认情况下 ( ea1<0 ) 或 b1表示关闭 b超出(eb1>0)，你就完成了，你得到了eq1 = -1即使是小商和准确的精度。

不要认为仔细控制舍入模式，例如获得 ea1 > 0 (多余)和eb1 <= 0 (默认)会在所有情况下保护你，因为我们可以构造相反的情况

b - smallValue < c < b

不要尝试 remainder fmod 的变体舍入商而不是截断，这只会使问题接近完美平局(当精确除法 a/b 是 1/2 的倍数时)。

通过对误差范围的仔 segmentation 析，您可以得出 ec 的估计值。并确定商 q 可能不正确四舍五入的不良情况(当 a1/b1 接近整数时)，或 abs(q)*eb达到 1，或 ea>=b .

在糟糕的情况下，您可以安排引发异常，然后重新开始生产 a1和 b1精度更高，但在边缘情况下c=0 , 即使精度任意，也不能保证收敛。