c - 有什么办法可以减少这两个相依矩阵之间的运算吗？

Question

我有两个矩阵，其中第一个矩阵是根据第二个矩阵的数据创建的，用于转换第二个矩阵。我多次重复这个操作。由于这两个矩阵的依赖关系，我一直没能在这里找到加速运算的方法。我会尝试用小矩阵向您展示我在说什么。

[ 1 0 0     0     ]     [ .11 .22 .33 .44 ]
[ 0 1 0     0     ]     [ .65 .42 .01 .92 ]
[ 0 0 .51^2 .85^2 ]  *  [ .31 .15 .51 .85 ]
[ 0 0 .44^2 .23^2 ]     [ .25 .78 .44 .23 ]
        A                        B

假设我做了数百万次这个操作，并且计算值在 A 中的位置取决于我希望在 B 中发生旋转的位置。因此，在每次迭代中矩阵 A 和 B 是不同的，并且使用的值计算要放入 A 的新值是不同的。

有谁知道加速此类代码的方法吗？考虑到矩阵乘法本质上是 vector 矩阵乘法，我希望创建一个组合 A(展开到 A 是一个完整矩阵的点，或者足够充分以利用 MMM 算法)，但是新值的数据依赖性使得看来我可能被卡住了。我得到这样的东西:

A * B = B'
A' * B' = B''
A'' * B'' = B'''

其中 A' 派生自 B'，A'' 派生自 B''，依此类推。

编辑:

澄清一下，第二轮可以是:

[ 1 0     0     0 ]     [ .11 .22 .33 .44 ]
[ 0 .65^2 .42^2 0 ]     [ .65 .42 .01 .92 ]
[ 0 .26^2 .60^2 0 ]  *  [ .26 .60 .45 .39 ]
[ 0 0     0     1 ]     [ .06 .04 .10 .17 ]
        A'                       B'

Answer 1

当矩阵 A[rows][num] 乘以矩阵 B[num][cols] 时，结果矩阵 C[rows] 中的每个元素[cols] 是

C[r][c] = A[r][0]*B[0][c] + ... + A[r][num-1]*B[num-1][c]
        = sum( A[r][k] * B[k][c], k = 0 .. num-1 )

这里，A 是一个单位矩阵，除了两行(r0 和 r1)，每行在两列中有两个值( c0 和 c1)。因为行 r0 和 r1 否则为零，结果矩阵 C 中这些行上的每个元素都是两个乘积的和:

C[r0][i] = A[r0][c0] * B[c0][i] + A[r0][c1] * B[c1][i]
C[r1][i] = A[r1][c0] * B[c0][i] + A[r1][c1] * B[c1][i]

并且由于 A 是单位矩阵，结果中的所有其他行与 B 矩阵中的对应行相同。

如果我们使用

a00 = A[r0][c0]        a01 = A[r0][c1]
a10 = A[r1][c0]        a11 = A[r1][c1]

那么我们可以将更新循环描述为

For i = 0 .. cols-1
    C[r0][i] = a00 * B[c0][i] + a01 * B[c1][i]
    C[r1][i] = a10 * B[c0][i] + a11 * B[c1][i]
End for

如果我们在更新循环中使用两个临时变量(在 c0 == r0 或 c1 == r0 的情况下，这样我们就不会覆盖 [r0][i] 在我们计算 [r1][i] 处的元素之前)，整个操作可以就地完成，仅使用 B 矩阵。

如果左矩阵A中的非恒等元元素是矩阵B中相应元素的平方，我们就地更新，就变得很简单了。在 C99 中:

#include <stdlib.h>

void update(const size_t n, double B[n][n], const size_t r, const size_t c)
{
    const double a00 = B[r  ][c  ] * B[r  ][c  ];
    const double a01 = B[r  ][c+1] * B[r  ][c+1];
    const double a10 = B[r+1][c  ] * B[r+1][c  ];
    const double a11 = B[r+1][c+1] * B[r+1][c+1];
    size_t       i;
    for (i = 0; i < n; i++) {
        const double b0i = B[c  ][i];
        const double b1i = B[c+1][i];
        B[r  ][i] = a00 * b0i + a01 * b1i;
        B[r+1][i] = a10 * b0i + a11 * b1i;
    }
} 

上述操作的计算成本是4*n+4 次乘法和2*n 次加法(矩阵元素)，即O(N) .

这种方法同样适用于Givens和 Jacobi旋转，除了不是使用给定矩阵计算四个元素，而是根据传递给函数的参数计算它们；需要传递两个单独的行和两列参数，而不是连续的行和列。