float 计算 : When to Round?

Question

我正在用 C 语言使用 float 执行一些计算。我专门处理我得到指数的最低可能单精度值的情况。

假设我的指数是 -126，我必须将它递减。在这种情况下，我不能再低了，所以我需要将尾数右移一次。我知道我应该得到计算的确切答案，然后然后四舍五入(到指定的任何地方)。

我正在考虑这样做(让 M 成为尾数):

M >>= 1;
//round mantissa

1. 由于我将尾数向右移动并且浮点左侧隐含了 1，我是否需要在移动后修改 M，如:

   M |= (1 << 23)
   

   确保最高有效位为 1？

2. 在丢失一些信息后四舍五入似乎很奇怪，但这是标准/公认的做法吗？或者我应该通过使用更多位然后然后四舍五入来计算完整结果吗？

Answer 1

对于 float ，有“法线”和“非法线”。

对于“法线”，尾数隐含 1 位，值为 ( 1 + (mantissa >> mantissa_bits) ) << (exponent_value - exponent_bias) .

对于“非正规化”，尾数没有隐含的 1 位，指数始终是其最小值(或比正规化的最小值小 1)并且值为 (mantissa >> mantissa_bits) << (0 - exponent_bias)或 mantissa >> (exponent_bias + mantissa_bits) .

对于非正规化，当您向右移动时，指数保持不变，而尾数被移动。最低有效位将丢失，但用于舍入尾数(根据舍入模式)。例如。 (假设四舍五入到最近)1011001b >> 5 = 10.11001b = 11b和 1001001b >> 5 = 10.01001b = 10b .

请注意，非规范化很烦人，并且需要进行特殊情况处理才能影响性能；所以大多数现代 CPU 都有一个特殊的“反规范为零”模式(不符合 IEEE 标准)，它只是用 +/- 0 替换任何反规范。

如果您在软件中执行此操作，则使用更大的浮点格式(精度更高)进行所有计算可能会更快，并忽略非正规化(这会降低微小数字的精度)以得到相同的结果精确度低得多。如有必要，您可以在“较大的无反规范化”和“较小的反规范化”格式之间进行转换。具体来说;我很想使用 64 位尾数和没有反正规的 32 位指数，并使用例程将这种内部格式转换为“32 位 float ”和“64 位 double ”。