c - 生成与一组 vector 线性无关的随机 vector

Question

我正在尝试提出一种算法，该算法允许我生成一个随机的 N 维实值 vector ，该 vector 与一组已生成的 vector 线性无关。我不想强制它们正交，只是线性独立。我知道 Graham-Schmidt 存在于正交化问题中，但是是否有更弱的形式只能给出线性独立 vector ？

Answer 1

第1步.生成随机 vector vr。

第 2 步. 将 vr 复制到 vo 并更新如下:对于 v1、v2 中每个已生成的 vector v。 .. vn，减去 vo 在 vi 上的投影。

结果是一个与 v1, v2...vn 跨越的子空间正交的随机 vector 。如果该子空间是基，那么它当然是零 vector :)

可以根据vr的范数与vo的范数的比较来判断初始 vector 是否线性无关。非线性独立 vector 的 vo 范数为零或接近零(某些数值精度问题可能使其成为一个小非零数，约为 epsilon 的几倍，这可以通过应用程序相关的方式进行调整)。

伪代码:

vr = random_vector()
vo = vr
for v in (v1, v2, ... vn):
    vo = vo - dot( vr, v ) / norm( v )
if norm(vo) < k1 * norm(vr):
    # this vector was mostly contained in the spanned subspace
else:
    # linearly independent, go ahead and use

这里 k1 是一个非常小的数字，也许是 1e-8 到 1e-10？

您还可以通过 vr 和子空间之间的角度:在这种情况下，将其计算为 theta = arcsin(norm(vo)/norm(vr))。与零显着不同的角度对应于线性无关 vector 。