matlab - 绘制归一化均匀混合物

Question

我需要在下面重现归一化密度 p(x)，但给出的代码不会生成归一化 PDF。

clc, clear
% Create three distribution objects with different parameters
pd1 = makedist('Uniform','lower',2,'upper',6);
pd2 = makedist('Uniform','lower',2,'upper',4);
pd3 = makedist('Uniform','lower',5,'upper',6);
% Compute the pdfs
x = -1:.01:9;
pdf1 = pdf(pd1,x); 
pdf2 = pdf(pd2,x); 
pdf3 = pdf(pd3,x); 
% Sum of uniforms
pdf = (pdf1 + pdf2 + pdf3);
% Plot the pdfs
figure;
stairs(x,pdf,'r','LineWidth',2);

如果我通过简单地按它们的总和缩放它们来计算归一化混合 PDF，则与上面的原始数字相比，我有不同的归一化概率。

pdf = pdf/sum(pdf);

Answer 1

混合物

A mixture两个随机变量的均值表示概率 p 使用分布 1，概率 1-p 使用分布 2。

根据您的图表，您似乎是在混合分布而不是添加(卷积)它们。精确的结果对混合概率非常重要。例如，我选择了 a = 0.25、b = 0.35 和 c = 1-a-b。

对于混合物，probability density function (PDF)是分析可用的:
pdfMix =@(x) a.*pdf(pd1,x) + b.*pdf(pd2,x) + c.*pdf(pd3,x).

% MATLAB R2018b
pd1 = makedist('Uniform',2,6);
pd2 = makedist('Uniform',2,4);
pd3 = makedist('Uniform',5,6);
a = 0.25;
b = 0.35;
c = 1 - a - b;    % a + b + c = 1

pdfMix =@(x) a.*pdf(pd1,x) + b.*pdf(pd2,x) + c.*pdf(pd3,x);

Xrng = 0:.01:8;
plot(Xrng,pdfMix(Xrng))
xlabel('X')
ylabel('Probability Density Function')

由于混合分布是统一的，您还可以使用 stairs()命令:stairs(Xrng,pdfMix(Xrng))。

我们可以通过确保总面积为 1 来验证这是一个有效的 PDF。
积分(pdfMix,0,9)

ans = 1.0000

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卷积:添加随机变量

将随机变量加在一起会产生不同的结果。同样，这可以凭经验轻松完成。这在分析上是可能的。例如，对两个 Uniform(0,1) 分布进行卷积会产生一个 Triangular(0,1,2) 分布。 convolution随机变量只是我们将它们相加的一种奇特方式，如果您对分析结果感兴趣，可以使用积分获得生成的 PDF。

N = 80000;                  % Number of samples
X1 = random(pd1,N,1);       % Generate samples     
X2 = random(pd2,N,1);
X3 = random(pd3,N,1);

X = X1 + X2 + X3;           % Convolution      

注意 x 轴比例的变化(Xrng = 0:.01:16;)。

为此，我使用 random() 从每个分布生成了 80k 个样本然后将它们相加以获得所需卷积的 80k 个样本。当我使用 histogram() 时注意我使用了 'Normalization', 'pdf' 选项。

Xrng = 0:.01:16;
figure, hold on, box on
p(1) = plot(Xrng,pdf(pd1,Xrng),'DisplayName','X1 \sim U(2,6)')
p(2) = plot(Xrng,pdf(pd2,Xrng),'DisplayName','X2 \sim U(2,4)')
p(3) = plot(Xrng,pdf(pd3,Xrng),'DisplayName','X3 \sim U(5,6)')
h = histogram(X,'Normalization','pdf','DisplayName','X = X1 + X2 + X3')

% Cosmetics
legend('show','Location','northeast')
for k = 1:3
    p(k).LineWidth = 2.0;
end
title('X = X1 + X2 + X3 (50k samples)')
xlabel('X')
ylabel('Probability Density Function (PDF)')

您可以使用 fitdist() 获得 PDF 的估计值和 Kernel distribution object然后调用 pdf()在生成的内核分发对象上执行命令。

pd_kernel = fitdist(X,'Kernel')

figure, hold on, box on
h = histogram(X,'Normalization','pdf','DisplayName','X = X1 + X2 + X3')
pk = plot(Xrng,pdf(pd_kernel,Xrng),'b-')           % Notice use of pdf command
legend('Empirical','Kernel Distribution','Location','northwest')

如果这样做，您会注意到生成的内核是无界的，但您可以更正此问题，因为您使用 truncate() 知道边界。 .您也可以使用 ksdensity()函数，尽管由于 all the functions，概率分布对象方法可能对用户更友好你可以直接访问。您应该知道内核是一个近似值(您可以在内核图中清楚地看到)。在这种情况下，对 3 个均匀分布进行卷积的集成并不算太糟糕，因此如果需要 PDF，则通过分析找到 PDF 可能是首选。否则，经验方法(尤其是对于生成)可能就足够了，尽管这取决于您的应用。

pdt_kernel = truncate(pd_kernel,9,16)

从混合和卷积生成样本是一个不同的问题(但可管理)。