matlab - 每次计算时，两个随机信号之间的相关性都会发生变化

Question

假设我在 MATLAB 中有两个信号

a = randn(1,1e6);
b = randn(1,1e6);

我发现它们之间的相关性如下:

R=corrcoef(a,b);
r = R(2,1);

现在每次运行我的代码时，相关系数都不同。我什至尝试增加样本数量(从 1e6 到更高的值)，但这没有用。有没有其他方法可以找到这些信号之间的相关系数？

Answer 1

您似乎混淆了样本 相关系数和理论 相关系数。前者是随机值，由在模拟中生成的(随机)信号产生；后者是一个数字，它是根据信号生成过程的统计模型计算得出的。

您在代码中计算的是样本相关系数，它取决于随机生成的实际信号(a 和b 在你的代码中)。这些信号是随机过程的实现(白色高斯过程，在你的例子中，因为你使用 randn )。

另一方面，理论相关系数由随机过程的统计特征决定，这些随机过程会产生两个随机过程的生成信号。所以它不是从模拟中获得的(如在您的代码中)，而是通过数学计算。

在您的案例中，理论相关性为 0，因为随机过程独立。请注意，我从代码(从您如何生成信号)知道这个，而不是从代码碰巧生成的实际值。这就是我所说的理论值的意思:它是根据您对如何生成实际信号的了解计算得出的。

样本相关性可以用作理论相关性的估计；随着信号大小的增加，这种估计变得更好。这是law of large numbers .因此，您设置的样本量越大(代码中的 1e6)，结果(样本相关系数)就越集中于 0(理论相关系数)附近。

为了说明这一点，我进行了 10 组 1000 模拟，每组具有不同的样本大小。因此，对于每个样本大小，我收集了 1000 样本相关系数的不同值，并计算了一个直方图以查看这些值的分布情况。该图证实，随着样本量的增加，直方图变得更窄(和更高)，表明样本相关系数更集中在理论值 0 附近。

---

用于生成图(Matlab R2015b)的代码是:

S = 1e5:1e5:1e6; %// sample sizes
N = 1000; %// number of repetitions to generate histogram
binlimits = [-.015 .015]; %// set manually depending on S
B = 31; %// number of bins in the histogram
stretch = 7; %// stretch factor for plotting the histograms
result = NaN(numel(S),B); %// preallocate
for m = 1:numel(S)
    cc = NaN(1,S(m));
    for n = 1:N
        a = randn(1,S(m));
        b = randn(1,S(m));
        c = corrcoef(a,b);
        cc(n) = c(2,1); %// correlation coefficient
    end
    [hist, edges] = histcounts(cc,31,'BinLimits',binlimits,'Normalization','pdf');
    result(m,:) = hist; %// histogram of correlation coefficient for this sample size
end
bins = (edges(1:end-1) + edges(2:end))/2; %// axis for plotting the histograms
resultbar = NaN(numel(S)*stretch,B);
resultbar(1:stretch:end,:) = result; %// separate the histograms for better visualization
h = bar3(bins, resultbar.'); %'// plot histograms
set(gca,'xtick',1:stretch:numel(h),'xticklabels',S)
delete(h(mod(0:numel(h)-1,stretch)>0)) %// remove zeros
xlabel('Sample correlation coefficient')
ylabel('Sample size')