Matlab:对于偶实函数，FFT复数结果，IFFT实数结果

Question

我正在 Matlab 中测试 FFT 和 IFFT 函数的有效性。

我可以将这些函数的输出与一个众所周知的数学事实进行比较:偶实函数(如以 0 为中心的高斯函数)的傅立叶变换是另一个偶实函数 (FFT[real, 0- centered Gaussian] = real, 0-centered Gaussian).这个事实应该适用于 FFT 和 IFFT。

首先我制作我的网格:

nx = 256; % grid total pixel count
X = 500; % grid size (um)
dx = X/nx; %  grid spacing (um)
x = linspace(-nx/2,nx/2-1,nx)*dx; % x grid (um)

df = 1/(nx*dx); % spectral grid spacing (1/um)
f = linspace(-nx/2,nx/2-1,nx)*df; % f grid (1/um)

然后我让我的高斯:

A = 1; % magnitude (arbitrary units) 
x_fwhm = 7; % Full width at half maximum diameter (um)

x0 = x_fwhm/sqrt(2*log(2)); % 1/e^2 radius (um)
y = A*exp(-2*x.^2./(x0)^2); % Gaussian (arbitrary units) 

然后使用 FFT 进行傅里叶变换:

yFFT = fftshift(fft(fftshift(y))); 

或者，使用 IFFT:

yIFFT = fftshift(ifft(fftshift(y))); 

绘制结果:

IFFT 做得很完美:yIFFT 是纯实数高斯分布。然而，FFT 产生一个复数:存在非常小的虚部。这很好，因为在傅立叶变换算法中应该会出现错误，而且无论如何都可以忽略不计。令我困惑的是为什么在 IFFT 中完全没有错误？ FFT 和 IFFT 算法有很大不同吗？

*** 注意:fftshift 和 ifftshift 在这里是等价的，因为我的数组有偶数个元素。

Answer 1

实值时域信号的处理相当普遍。以至于 ifft function内置了对频域中出现的相应对称性的处理，如文档“算法”部分所述:

The ifft function tests whether the vectors in Y are conjugate symmetric. A vector v is conjugate symmetric when the i^th element satisfies v(i) = conj(v([1,end:-1:2])). If the vectors in Y are conjugate symmetric, then the inverse transform computation is faster and the output is real.

换句话说，ifft 将 yIFFT 的虚部构造为恰好为 0，因为它检测到您的输入具有共轭对称性。

另一方面，即使是时域信号也相对不太常见，Mathworks 认为没有必要在 fft function 中执行类似的测试。 .也就是说，您仍然可以通过使用 ifft 函数计算 FFT 来利用共轭对称性测试

% compute fft(x,[],dim) using ifft:
size(x,dim) * conj(ifft(conj(x),[],dim))