我正在做线性代数作业，以比较 QR 因式分解算法 Gram-Schmidt 和 Householder 的性能和稳定性。
我的疑惑是在计算下表时出现的:
其中矩阵 Q 和 R 是通过将 Gram-Schmidt 和 householder 应用于希尔伯特矩阵 A 而对 QR 进行因式分解的结果矩阵，I 是维度 N 的单位矩阵；和|| * ||是 Frobenius 范数。
当我在不同的计算机上进行计算时，在某些情况下我会得到不同的结果，可能是因为这个？。上表对应于在 32 位计算机中执行的计算，下表对应于 64 位计算机中执行的计算:
matlab 中的这些结果涉及进行计算的计算机体系结构？
最佳答案
如果你能找到答案，我真的很感兴趣!
不幸的是，很多事情都会改变数值结果...
为了提高效率，一些 LAPACK 算法在子矩阵 block 上进行迭代。为了获得最佳效率， block 的大小必须以某种方式适应 CPU L1/L2/L3 缓存的大小......
block 的大小由 LAPACK 例程 ILAENV 控制，请参阅 http://www.netlib.org/lapack/lug/node120.html
当然，如果 block 大小不同，结果在数值上也会不同...可能是 Matlab 提供的 lapack/BLAS DLL 在两台机器上使用不同调优版本的 ILAENV 编译，或者 ILAENV 已被替换使用考虑到缓存大小的定制优化版本，您可以自己检查制作一个调用 ILAENV 并将其链接到 Matlab 提供的 DLL 的小 C 程序...
对于底层 BLAS，情况更糟:如果使用优化版本，则可能会在示例可用时使用一些融合的 mul-add FPU 指令，但它们不一定在所有 FPU 上都可用。 AFAIK，Matlab 使用 ATLAS http://math-atlas.sourceforge.net/ ，你将不得不询问图书馆是如何产生的......你将不得不跟踪基本代数运算结果的差异(如矩阵*向量或矩阵*矩阵......)。
更新:即使 ILAENV 相同，QR 使用基本旋转，因此它显然取决于 sin/cos 实现。不幸的是，没有标准确切地说明 sin 和 cos 应该如何按位表现，它们可能与四舍五入的精确结果相差几个 ulp，并且从一个库到另一个库不同，并且会在不同的体系结构/编译器(在 x87 FPU 中硬连线)上给出不同的结果。因此，除非您提供这些函数的您自己的版本(或在 ADA 中工作)并使用特制的编译器选项编译它们，并且可能精细地控制 FPU 模式，否则几乎没有机会在不同的体系结构上找到完全相同的结果......您将还必须询问 Matlab 在编译这些库时是否特别注意确保浮点确定性结果。
关于matlab - matlab中相同算法的不同结果，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题： https://stackoverflow.com/questions/12102431/