matlab - 线性方程的错误解，或者为什么 A*(A\B) 不等于 B？

Question

下面A*(A\D)的结果怎么可能不等于D？

它应该产生 D - 这是 Octave 文档的摘录:

Systems of linear equations are ubiquitous in numerical analysis. To solve the set of linear equations Ax = b, use the left division operator, ‘\’: x = A \ b

下面是给想尝试的人的代码:

A = [1,1,1;0,0,0;2,1,2;2,1,2;3,5,6]
D = [1;2;3;4;5]
% A is of rank 3:
rank(A)
% therefore the system Ax=D has a unique solution
x = A\D
% but Octave has not given the good solution:
A*x

有人说 Matlab 产生的结果完全一样。

编辑 10/10/2012:阅读答案后，让我指出我犯了一个严重错误的地方:声明 “A 是等级 3 因此系统 Ax=D有一个独特的解决方案” 是绝对错误的!顺便说一句，上面显示的文档非常令人不安。

Answer 1

A 有 5 行，D 也是。它们都有 3 列。因此，您有一个包含 5 个方程和 3 个变量的超定系统。在大多数情况下，这意味着您无法精确地求解方程，因为您有太多的约束。

一旦你这样做了

x = A\D;

你得到了最小二乘解。

 0.8333
-1.5000
 1.6667

这个解决方案是什么？它是一个最小化误差平方和的解。让我们计算误差:

  r = A*x-D;
  totalError = sum( r.^2);

这意味着您将无法找到任何 x 使得 sum(sqr(A*x-D)) 具有更小的误差。

小提示:在你的情况下，你还有一行零 - 这导致方程的实际数量变为 4

让我们再看一下A*(A\D):

>> A* (A\D)

ans =

    1.0000
         0
    3.5000
    3.5000
    5.0000

这看起来很熟悉!非常接近 [1;2;3;4;5]。第一行和最后一行是相同的。第二个是零，因为你放了一行零。在第 3 行和第 4 行中，A 中的行完全相同，但 B 中的值不同，对应于

2*x+ 1*y + 2*z  = 3;
2*x+ 1*y + 2*z  = 4;

你得到了他们的平均值!这是有道理的，因为平均值是将距离之和最小化到 3 和 4 的值。

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这是一个更简单的例子，假设你想求解以下方程组:

   x = 1;
   x = 2;

很明显，x不能同时为1和2。最小化误差平方和的解是1.5

   A = [1;1];
   b = [1;2];
   A\b
   ans =
    1.5000