matlab - 在 MATLAB 中执行 LU 分解而不旋转

Question

如何在 MATLAB 中实现函数 lu(A) 使得 L*U 直接为 A 并且我也得到了实数L 矩阵？

当我使用 [L,U] = lu(A) 时，MATLAB 没有给我正确的 L 矩阵。当我使用[L,U,P] = lu(A)时，我需要实现P*A = L*U，但我只想乘以L*U 接收 A.

Answer 1

MATLAB 的 lu 默认情况下始终执行旋转。例如，如果您在尝试执行传统的 LU 分解算法时有一个等于 0 的对角线系数，它将不起作用，因为在执行高斯消去法以创建上三角矩阵时需要对角线系数 U 所以你会得到除以零的错误。需要旋转以确保分解稳定。

但是，如果你能保证你的矩阵的对角线系数不为零，这很简单，但你必须自己写这个。您所要做的就是对矩阵进行高斯消去，将矩阵降为降阶梯形。结果降阶梯形矩阵为U，而在高斯消元法中去除L下三角部分所需的系数将放在下三角一半，使得你.

假设您的矩阵存储在 A 中，这样的事情可能会起作用。请记住，我在这里假设一个方阵。非旋转 LU 分解算法的实现放在一个名为 lu_nopivot 的 MATLAB 函数文件中:

function [L, U] = lu_nopivot(A)

n = size(A, 1); % Obtain number of rows (should equal number of columns)
L = eye(n); % Start L off as identity and populate the lower triangular half slowly
for k = 1 : n
    % For each row k, access columns from k+1 to the end and divide by
    % the diagonal coefficient at A(k ,k)
    L(k + 1 : n, k) = A(k + 1 : n, k) / A(k, k);

    % For each row k+1 to the end, perform Gaussian elimination
    % In the end, A will contain U
    for l = k + 1 : n
        A(l, :) = A(l, :) - L(l, k) * A(k, :);
    end
end
U = A;

end

作为一个运行示例，假设我们有以下 3 x 3 矩阵:

>> rng(123)
>> A = randi(10, 3, 3)

A =

     7     6    10
     3     8     7
     3     5     5

运行算法给我们:

>> [L,U] = lu_nopivot(A)

L =

    1.0000         0         0
    0.4286    1.0000         0
    0.4286    0.4474    1.0000   

U =

    7.0000    6.0000   10.0000
         0    5.4286    2.7143
         0         0   -0.5000

将 L 和 U 相乘得到:

>> L*U

ans =

     7     6    10
     3     8     7
     3     5     5

...这是原始矩阵A。