Matlab sin(pi) 及其与机器 epsilon 的关系

Question

我理解sin(pi)不等于0的原因是因为没有足够的位来存储“pi”的所有有效数字，但是呢与机器epsilon有关吗？

我在网上阅读什么是机器 epsilon，但在阅读了一个小时的不同措辞的定义后，我感到困惑并且不理解 epsilon 的概念。我最终对自己的愚蠢感到非常沮丧......

下面这个例子是在 MATLAB 文档中给出的，我不明白，有人可以向我解释这个例子试图展示什么吗？

Find the distance from 10.0 to the next largest double-precision number.

d = eps(10.0)

d =

   1.7764e-15

http://www.mathworks.com/help/matlab/ref/eps.html

Answer 1

机器 epsilon 有几个不同的定义，但是 Matlab eps非常典型，是 1.0 和下一个最大的 double float 之间的差距。

我们实际上可以更一般化:对于 2^k ≤ x < 2^k+1 之间的任何 float ，间隙x 和下一个最大的 float 之间是 2^k × eps (即 Matlab 中的 eps(x) ).此外，任何实数与其最接近的 float 近似值之间的差距是这个数的一半。

因为 2 ≤ π < 4;，这意味着 pi(数值近似值)和 π(精确的无理数)之间的差距以 eps 为界。事实上，它刚刚超过一半:

eps ≈ 2.22 × 10^-16

|pi - π| ≈ 1.22 × 10^-16

现在使用@aka.nice 答案的结果，并且 sin(π) = 0，我们得到了

罪(圆周率)= | sin(pi) - sin(π) | ≈ |pi - π| <eps

即它也受 eps 的限制。

注意:sin(pi)(数字结果)和 sin(pi)(精确结果)之间也有一些轻微的舍入，但这是order eps²，所以在这种情况下可以忽略。