arrays - MATLAB:如何向量乘两个矩阵数组？

Question

我有两个 3 维数组，前两个维度表示矩阵，最后一个维度通过参数空间计数，举个简单的例子

A = repmat([1,2; 3,4], [1 1 4]);

(但假设 A(:,:,j) 对于每个 j 都是不同的)。如何轻松地执行两个这样的矩阵数组 A 和 B 的每 j 矩阵乘法？

C = A; % pre-allocate, nan(size(A,1), size(B,2)) would be better but slower
for jj = 1:size(A, 3)
  C(:,:,jj) = A(:,:,jj) * B(:,:,jj);
end

当然可以完成这项工作，但如果第三维更像是 1e3 元素，这会非常慢，因为它不使用 MATLAB 的矢量化。那么，有没有更快的方法呢？

Answer 1

我现在做了一些计时测试，2x2xN 最快的方法原来是计算矩阵元素:

C = A;
C(1,1,:) = A(1,1,:).*B(1,1,:) + A(1,2,:).*B(2,1,:);
C(1,2,:) = A(1,1,:).*B(1,2,:) + A(1,2,:).*B(2,2,:);
C(2,1,:) = A(2,1,:).*B(1,1,:) + A(2,2,:).*B(2,1,:);
C(2,2,:) = A(2,1,:).*B(1,2,:) + A(2,2,:).*B(2,2,:);

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在一般情况下，事实证明 for 循环实际上是最快的(不过不要忘记预先分配 C!)。

不过，如果使用 cellfun 已经得到矩阵元胞数组的结果是最快的选择，它也比遍历单元格元素更快:

C = cellfun(@mtimes, A, B, 'UniformOutput', false);

但是，必须调用 num2cell首先 (Ac = num2cell(A, [1 2])) 和 cell2mat 对于 3d 数组情况浪费了太多时间。

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这是我为一组随机的 2 x 2 x 1e4 做的一些计时:

 array-for: 0.057112
 arrayfun : 0.14206
 num2cell : 0.079468
 cell-for : 0.033173
 cellfun  : 0.025223
 cell2mat : 0.010213
 explicit : 0.0021338

显式是指直接计算 2 x 2 矩阵元素，见下文。 对于新的随机数组，结果类似，如果之前不需要 num2cell 并且没有 2x2xN 的限制，则 cellfun 是最快的。对于一般的 3d 数组，在三维上循环确实已经是最快的选择了。这是时间代码:

n = 2;
m = 2;
l = 1e4;

A = rand(n,m,l);
B = rand(m,n,l);

% naive for-loop:
tic
%Cf = nan(n,n,l);
Cf = A;
for jl = 1:l
    Cf(:,:,jl) = A(:,:,jl) * B(:,:,jl);
end;
disp([' array-for: ' num2str(toc)]);

% using arrayfun:
tic
Ca = arrayfun(@(k) A(:,:,k)*B(:,:,k), 1:size(A,3), 'UniformOutput',false);
Ca = cat(3,Ca{:});
disp([' arrayfun : ' num2str(toc)]);

tic
Ac = num2cell(A, [1 2]);
Bc = num2cell(B, [1 2]);
disp([' num2cell : ' num2str(toc)]);

% cell for-loop:
tic
Cfc = Ac;
for jl = 1:l
    Cfc{jl} = Ac{jl} * Bc{jl};
end;
disp([' cell-for : ' num2str(toc)]);

% using cellfun:
tic
Cc = cellfun(@mtimes, Ac, Bc, 'UniformOutput', false);
disp([' cellfun  : ' num2str(toc)]);

tic
Cc = cell2mat(Cc);
disp([' cell2mat : ' num2str(toc)]);

tic
Cm = A;
Cm(1,1,:) = A(1,1,:).*B(1,1,:) + A(1,2,:).*B(2,1,:);
Cm(1,2,:) = A(1,1,:).*B(1,2,:) + A(1,2,:).*B(2,2,:);
Cm(2,1,:) = A(2,1,:).*B(1,1,:) + A(2,2,:).*B(2,1,:);
Cm(2,2,:) = A(2,1,:).*B(1,2,:) + A(2,2,:).*B(2,2,:);
disp([' explicit : ' num2str(toc)]);

disp(' ');