python - 实现具有自定义约束的 Python 求解器

Question

我有两个相互关联的变量，我想找到一个最优解，在本例中是它们总和的最小值。现在，我们称它们为 X 和 Y，以及预定义的常量，它们加起来就是一组“变量” s1和 s2(稍后提供约束):

105896649.59 + X = s1
    -6738.82 + Y = s2

在搜索 SciPy 文档时，我遇到了 linear programming解决方案，其中我有最小化函数(在本例中为 X + Y)和一组我的变量绑定(bind)到的不等式和等式约束。就我而言，它们如下:

• X >= 0, Y >= 0
• s1 >= 1, s2 >= 1
• s2/(s1 + s2) = 0.0001%

对于这种特定情况，代码很容易实现:

from scipy.optimize import linprog

lstConst = [105896649.59, -6738.82]

# function to minimise: X + Y
c= [1, 1]

# left-hand side of the equation for s2 / (s1 + s2) = 0.0001%
# i.e., -0.000001 * X + 0.999999 * Y
Aeq = [[-0.000001, 0.999999]]

# right-hand side of the equation
beq = [0.000001 * (lstConst[0] + lstConst[1]) - lstConst[1]]

# ensures minimum can't be a negative number
minX = max(1, max(1 -lstConst[0], 0))
minY = max(1, max(1 -lstConst[1], 0))

X_bounds = (minX, None)

Y_bounds = (minY, None)

res = linprog(c, A_eq=Aeq, b_eq=beq, bounds=[X_bounds, Y_bounds])

所以我们有 X 和 Y 的值来最小化 x 参数上的函数:

In [1]: res.x
Out[1]: array([1.00000000e+00, 6.84471676e+03])

---

我想以这种方法为基础:

1. 其实还有另外一组限制:s1和s2也必须是整数(注意X和Y float 没有问题)。
2. 我不会为 s1 和 s2 之间的比率定义单个值，而是提供一个包含不同可能比率的列表。

本质上，我想在给定 s1 和 s2 之间的几个不同比率的情况下，找到 X + Y 函数的最小值。这可以通过遍历列表以在每次迭代中定义 Aeq 和 beq 或定义其他限制(如果可能)来实现。

但是，我对整数限制以及如何使线性规划算法考虑到它一无所知。

如果有人有使用 SciPy 和 linprog 以外的库/优化器的替代建议，我们也欢迎。

Answer 1

首先，重述一下问题:

minimize x + y, subject to:

    k1 + x = s1
    k2 + y = s2
    x >= 0
    y >= 0
    s1 >= 1
    s2 >= 1
    s2 / (s1 + s2) = k3

Where:

    k1 = 105896649.59
    k2 = -6738.82
    k3 = 0.000001

请注意，您不需要 s1 和 s2 变量来对 linprog 中的问题进行编码。如果没有 s1 和 s2 辅助变量，问题是:

minimize x + y, subject to:

  x >= 0
  y >= 0
  x + k1 >= 1,
  y + k2 >= 1,
  (1-k3)y - k3x = (k1 + k2)k3 - k2

在 linprog 中哪个更容易阅读和编码:

import numpy as np
from scipy.optimize import linprog
k1, k2, k3 = 105896649.59, -6738.82, 0.000001
A_ub = -np.eye(2)
b_ub = [k1-1, k2-1]
A_eq = [[-k3, (1-k3)]]
b_eq = (k1 + k2)*k3 -k2
res = linprog([1,1], A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, A_eq=A_eq, b_eq=b_eq, bounds=[[0,None], [0, None]])
print(res)

这给出了 [0., 6844.71675549]，因为您实际上已经将 x 和 y 的下限设置为 1(我认为这是一个错字 .. .) 但在所问问题的上下文中并不重要:

---

进入问题:

... I'm clueless as to the integer restriction and how to make the linear programming algorithm take it into account.

If anyone has an alternative suggestion that uses a library/optimizer other than SciPy and linprog, that's also welcome.

你要的是 mixed integer linear programming (MILP) 。 MILP 和线性规划 (LP) 通常使用不同的算法来解决，并且 MILP 问题通常更难准确解决。 SciPy Optimize 不支持 MILP。有许多开源工具可以执行此操作，例如 OrTools和 PySCIPOpt这是 SCIP 的 Python 包装器.

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PySCIPOpt 中的示例:

PySCIPOpt 很好，因为它有一个约束编程类型的 API。在 PySCIPOpt 中，您的问题很容易以可读的形式陈述。重新引入辅助变量，我们几乎可以逐字输入约束:

from pyscipopt import Model

k1, k2, k3 = 105896649.59, -6738.82, 0.000001
model = Model()
x = model.addVar(vtype="CONTINUOUS", name="x", lb=0)
y = model.addVar(vtype="CONTINUOUS", name="y", lb=0)
s1 = model.addVar(vtype="CONTINUOUS", name="s1", lb=None, ub=None)
s2 = model.addVar(vtype="CONTINUOUS" name="s2", lb=None, ub=None)
o = model.addVar(vtype="CONTINUOUS", name="Objective Value", lb=0, ub=None)
model.addCons(k1 + x == s1)
model.addCons(k2 + y == s2)
model.addCons(s1 >= 1)
model.addCons(s2 >= 1)
model.addCons(s2/(s1+s2) == k3)
model.addCons(x + y == o)
model.setObjective(o, "minimize")
model.optimize()
print('x + y = o -> (%.4f + %.4f = %.4f)' % (model.getVal(x), model.getVal(y), model.getVal(o)))

给出与 linprog 相同的答案，因为它只是一个线性程序。然而，由于 SCIP 支持 MILP，我们可以引入整数变量。要处理您的案例 #1，只需将 s1 和 s2 更改为整数:

...
s1 = model.addVar(vtype="INTEGER", name="s1", lb=None, ub=None)
s2 = model.addVar(vtype="INTEGER", name="s2", lb=None, ub=None)

给予:

...
SCIP Status        : problem is solved [optimal solution found]
Solving Time (sec) : 0.00
Solving Nodes      : 1
Primal Bound       : +1.10089229999989e+05 (1 solutions)
Dual Bound         : +1.10089229999989e+05
Gap                : 0.00 %
x + y = o -> (103244.4100 + 6844.8200 = 110089.2300)

这是一个完全不同的解决方案……但这就是 MILP 不是 LP 的原因。

从上面的例子，并通过阅读 docs ，您应该能够弄清楚如何编写您的 #2 案例 - 基本上像 1/k3 这样的东西会成为您模型中的另一个整数变量。