python - 具有线性约束的 Scipy.optimize.minimize SLSQP 失败

Question

考虑以下(凸)优化问题:

minimize 0.5 * y.T * y
s.t.     A*x - b == y

其中优化(向量)变量是x和y和A，b是一个矩阵和向量，分别具有适当的维度。

下面的代码使用 Scipy 中的 SLSQP 方法轻松找到了解决方案:

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize 

# problem dimensions:
n = 10 # arbitrary integer set by user
m = 2 * n

# generate parameters A, b:
np.random.seed(123) # for reproducibility of results
A = np.random.randn(m,n)
b = np.random.randn(m)

# objective function:
def obj(z):
    vy = z[n:]
    return 0.5 * vy.dot(vy)

# constraint function:
def cons(z):
    vx = z[:n]
    vy = z[n:]
    return A.dot(vx) - b - vy

# constraints input for SLSQP:
cons = ({'type': 'eq','fun': cons})

# generate a random initial estimate:
z0 = np.random.randn(n+m)

sol = minimize(obj, x0 = z0, constraints = cons, method = 'SLSQP',  options={'disp': True})

Optimization terminated successfully.    (Exit mode 0)
            Current function value: 2.12236220865
            Iterations: 6
            Function evaluations: 192
            Gradient evaluations: 6

请注意，约束函数是一个方便的“数组输出”函数。

现在，原则上可以使用一组等效的“标量输出”约束函数，而不是约束的数组输出函数(实际上，scipy.optimize 文档仅讨论这种类型的约束函数作为输入最小化).

这是等效的约束集，后面是 minimize 的输出(与上面的列表相同的 A、b 和初始值) :

# this is the i-th element of cons(z):
def cons_i(z, i):
    vx = z[:n]
    vy = z[n:]
    return A[i].dot(vx) - b[i] - vy[i]

# listable of scalar-output constraints input for SLSQP:
cons_per_i = [{'type':'eq', 'fun': lambda z: cons_i(z, i)} for i in np.arange(m)]

sol2 = minimize(obj, x0 = z0, constraints = cons_per_i, method = 'SLSQP', options={'disp': True})

Singular matrix C in LSQ subproblem    (Exit mode 6)
            Current function value: 6.87999270692
            Iterations: 1
            Function evaluations: 32
            Gradient evaluations: 1

显然，算法失败了(返回的目标值实际上是给定初始化的目标值)，我觉得有点奇怪。请注意，运行 [cons_per_i[i]['f​​un'](sol.x) for i in np.arange(m)] 显示 sol.x，使用数组输出约束公式满足 cons_per_i 的所有标量输出约束(在数值公差范围内)。

如果有人对此问题有一些解释，我将不胜感激。

Answer 1

您遇到了 "late binding closures" gotcha .所有对 cons_i 的调用都是用等于 19 的第二个参数进行的。

解决方法是在定义约束的字典中使用 args 字典元素而不是 lambda 函数闭包:

cons_per_i = [{'type':'eq', 'fun': cons_i, 'args': (i,)} for i in np.arange(m)]

有了这个，最小化工作:

In [417]: sol2 = minimize(obj, x0 = z0, constraints = cons_per_i, method = 'SLSQP', options={'disp': True})
Optimization terminated successfully.    (Exit mode 0)
            Current function value: 2.1223622086
            Iterations: 6
            Function evaluations: 192
            Gradient evaluations: 6

您还可以使用链接文章中的建议，即使用带有第二个参数的 lambda 表达式，该参数具有所需的默认值:

cons_per_i = [{'type':'eq', 'fun': lambda z, i=i: cons_i(z, i)} for i in np.arange(m)]