python - 计算 1/tanh(x) - 1/x 对于非常小的 x

Question

我需要计算数量

1/tanh(x) - 1/x

对于 x > 0，其中 x 可以非常小也可以非常大。

对于小的x，我们有渐近

1/tanh(x) - 1/x  ->  x / 3

对于大的x

1/tanh(x) - 1/x  ->  1

无论如何，在计算表达式时，已经从 10^-7 和更小的舍入误差导致表达式被计算为恰好为 0:

import numpy
import matplotlib.pyplot as plt


x = numpy.array([2**k for k in range(-30, 30)])
y = 1.0 / numpy.tanh(x) - 1.0 / x

plt.loglog(x, y)
plt.show()

Answer 1

对于非常小的x，可以使用the Taylor expansion of 1/tanh(x) - 1/x around 0 ,

y = x/3.0 - x**3 / 45.0 + 2.0/945.0 * x**5

误差的阶数为O(x**7)，所以如果选择10^-5作为断点，则相对误差和绝对误差为远低于机器精度。

import numpy
import matplotlib.pyplot as plt


x = numpy.array([2**k for k in range(-50, 30)])

y0 = 1.0 / numpy.tanh(x) - 1.0 / x
y1 = x/3.0 - x**3 / 45.0 + 2.0/945.0 * x**5
y = numpy.where(x > 1.0e-5, y0, y1)


plt.loglog(x, y)
plt.show()