python - 如何使特征值和特征向量保持真实而不是复杂？

Question

我尝试通过 numpy.linalg.eig 对角化 n*100*100 3d 矩阵 K 并获得特征值 w 和特征向量 v。矩阵是 100*100，但我想用广播来做，这就是我设置的数字 n。并且矩阵不是厄尔米特矩阵。

w,v=np.linalg.eig(K)

起初，我尝试了 n=1000，我得到了实特征值和特征向量，即 xxxxxxxxxe+xx，但是当我尝试 n=2000，w和v的元素显示xxxxxxxxxe+xx+0.j。由于+0.j，在使用w和v做进一步计算时给出了复数。

1. 我认为这是因为 float 计算的算法错误，但为什么呢？
2. numpy.linalg 是否使用 LAPACK？这可能是 LAPACK 的错误吗？
3. 如何摆脱 +0.j？

Answer 1

根据文档，numpy.linalg.eig 使用(对于实参)LAPACK 例程 DGEEV它不对输入矩阵做出任何假设(除了是真实的)。如果矩阵在浮点精度内足够对称，则返回的特征值的复数部分将为零(DGEEV 的输出参数 WI)。但是，由于精度有限，您可能会得到一些虚假的复杂零件。

编辑:

1. 如果您确定您的矩阵只有实数特征值，您可以使用 numpy.real 去掉复数部分。或使用 numpy.linalg.eigh专门用于对称矩阵。

2. 至于numpy.linalg.eig，numpy/linalg/linalg.py中的相关部分是:

   w, vt = _umath_linalg.eig(a, signature=signature, extobj=extobj)
   
   if not isComplexType(t) and all(w.imag == 0.0):
       w = w.real
       vt = vt.real
       result_t = _realType(result_t)
   else:
       result_t = _complexType(result_t)
   

所以测试是一个严格的比较all(w.imag == 0.0)，然后才用w = w.real将特征值转换为实数。