python - 如何找到属于非方阵零空间的线性无关向量？ (Python)

Question

我有一个非方矩阵和一个确定矩阵零空间的方法(从这个线程中找到:How to find the Null Space of a matrix in Python using numpy? )，但是我在采用这个解决方案时遇到了一些问题。

首先，我不确定我的值是否正确，因为我不太确定我在寻找什么。

其次，我需要从这个零空间中找到两个线性无关的向量，但我不知道从这里下一步要确定这个。

最后，我需要确定矩阵的任何列在 R3 和 R4 中是否线性无关。

如有任何帮助，我们将不胜感激。

代码:

import numpy as np
import scipy as sp
from scipy import linalg

a = np.matrix(
[
    [ 3,  2, -1,  4],
    [ 1,  0,  2,  3],
    [-2, -2,  3, -1]
])


def null(A, eps=1e-15):
    u, s, vh = linalg.svd(A)
    null_mask = (s <= eps)
    null_space = sp.compress(null_mask, vh, axis=0)
    return sp.transpose(null_space)

print(null(a))

输出:

 [[ 0.8290113 ]
 [-0.2330726 ]
 [ 0.24969281]
 [-0.44279897]]

我假设因为输出不是空矩阵 []，所以这个矩阵有一些特别之处，我只是不知道它是什么意思。

Answer 1

我建议使用 sympy在这种情况下:

from sympy import Matrix
a  = Matrix([
    [ 3,  2, -1,  4],
    [ 1,  0,  2,  3],
    [-2, -2,  3, -1]
])
print(a.nullspace())

输出:

[Matrix([
[ -2],
[7/2],
[  1],
[  0]]),
Matrix([
[ -3],
[5/2],
[  0],
[  1]])]

您可以轻松检查结果是否确实属于零空间，方法是在与矩阵 a 相乘时显式检查结果是否映射到 0:

n1, n2 = a.nullspace()
print(a*n1, a*n2) 

结果:

Matrix([[0], [0], [0]]) Matrix([[0], [0], [0]])

最后，要在 R3 中获得矩阵的线性无关列，您可以使用函数 columnspace，它返回跨越矩阵列空间的列向量列表

print(a.columnspace())

结果

[Matrix([
[ 3],
[ 1],
[-2]]), Matrix([
[ 2],
[ 0],
[-2]])]

这是矩阵的前两列。