c++ - OpenGL-鼠标坐标到空间坐标

Question

我的目标是在鼠标指向的位置放置一个球体(Z坐标为0)。

我看到了这个question，但是我还不了解MVP矩阵的概念，因此我做了一些研究，现在有两个问题:

如何从相机设置(例如查找，眼睛和向上 vector )创建 View 矩阵？

我也阅读了this tutorial about several camera types和这个webgl。

我仍然可以将它们放在一起，我也不知道如何获得投影矩阵...

我应该采取什么步骤来实现所有这些？

Answer 1

在渲染中，通常通过模型矩阵， View 矩阵和投影矩阵来变换场景的每个网格。

投影矩阵:
投影矩阵描述了从场景的3D点到视口(viewport)的2D点的映射。投影矩阵从 View 空间转换为剪辑空间，并且剪辑空间中的坐标转换为范围为(-1，-1，-1)至(1、1、1)的归一化设备坐标(NDC)通过除以剪辑坐标的w分量。

View 矩阵:
View 矩阵描述了从中查看场景的方向和位置。 View 矩阵从世界空间转换为 View (眼睛)空间。在视口(viewport)的坐标系中，X轴指向左侧，Y轴指向上方，Z轴指向 View 之外(请注意，在右侧系统中，Z轴是X-轴的叉积轴和Y轴)。

模型矩阵:
模型矩阵定义场景中网格的位置，方向和相对大小。模型矩阵将顶点位置从网格转换为世界空间。

模型矩阵如下所示:

( X-axis.x, X-axis.y, X-axis.z, 0 )
( Y-axis.x, Y-axis.y, Y-axis.z, 0 )
( Z-axis.x, Z-axis.y, Z-axis.z, 0 )
( trans.x,  trans.y,  trans.z,  1 ) 

View

在视口(viewport)上，X轴指向左侧，Y轴指向上方，Z轴指向 View 之外(请注意，在右手系统中，Z轴是X轴与Y-轴的叉积轴)。



下面的代码定义了一个矩阵，该矩阵准确地封装了计算场景外观所需的步骤:

将模型坐标转换为视口(viewport)坐标。

旋转，以 View 的方向看。

眼睛位置的运动

以下代码与gluLookAt或glm::lookAt相同:

using TVec3  = std::array< float, 3 >;
using TVec4  = std::array< float, 4 >;
using TMat44 = std::array< TVec4, 4 >;

TVec3 Cross( TVec3 a, TVec3 b ) { return { a[1] * b[2] - a[2] * b[1], a[2] * b[0] - a[0] * b[2], a[0] * b[1] - a[1] * b[0] }; }
float Dot( TVec3 a, TVec3 b ) { return a[0]*b[0] + a[1]*b[1] + a[2]*b[2]; }
void Normalize( TVec3 & v )
{
    float len = sqrt( v[0] * v[0] + v[1] * v[1] + v[2] * v[2] );
    v[0] /= len; v[1] /= len; v[2] /= len;
}

TMat44 Camera::LookAt( const TVec3 &pos, const TVec3 &target, const TVec3 &up )
{ 
    TVec3 mz = { pos[0] - target[0], pos[1] - target[1], pos[2] - target[2] };
    Normalize( mz );
    TVec3 my = { up[0], up[1], up[2] };
    TVec3 mx = Cross( my, mz );
    Normalize( mx );
    my = Cross( mz, mx );

    TMat44 v{
        TVec4{ mx[0], my[0], mz[0], 0.0f },
        TVec4{ mx[1], my[1], mz[1], 0.0f },
        TVec4{ mx[2], my[2], mz[2], 0.0f },
        TVec4{ Dot(mx, pos), Dot(my, pos), -Dot(mz, pos), 1.0f }
    };

    return v;
}

投影

投影矩阵描述了从场景的3D点到视口(viewport)的2D点的映射。它从眼睛空间转换为剪辑空间，并且通过除以剪辑坐标的w分量，将剪辑空间中的坐标转换为归一化设备坐标(NDC)。 NDC的范围是(-1，-1，-1)至(1,1,1)。 NDC之外的每个几何都将被裁剪。

摄像机视锥的近平面和远平面之间的对象映射到NDC的范围(-1，1)。

正交投影

在正交投影中，眼睛空间中的坐标被线性映射到归一化的设备坐标。



正射投影矩阵:

r = right, l = left, b = bottom, t = top, n = near, f = far 

2/(r-l)         0               0               0
0               2/(t-b)         0               0
0               0               -2/(f-n)        0
-(r+l)/(r-l)    -(t+b)/(t-b)    -(f+n)/(f-n)    1

透视投影

在“透视投影”中，投影矩阵描述了从针孔相机看到的世界3D点到视口(viewport)的2D点的映射。摄像机视锥中的眼睛空间坐标(截断的金字塔)映射到立方体(规范化的设备坐标)。



透视投影矩阵:

r = right, l = left, b = bottom, t = top, n = near, f = far

2*n/(r-l)      0              0                0
0              2*n/(t-b)      0                0
(r+l)/(r-l)    (t+b)/(t-b)    -(f+n)/(f-n)    -1    
0              0              -2*f*n/(f-n)     0

在哪里:

a = w / h
ta = tan( fov_y / 2 );

2 * n / (r-l) = 1 / (ta * a)
2 * n / (t-b) = 1 / ta

如果投影是对称的，视线在视口(viewport)的中心，并且视场没有移位，则可以简化矩阵:

1/(ta*a)  0     0              0
0         1/ta  0              0
0         0    -(f+n)/(f-n)   -1    
0         0    -2*f*n/(f-n)    0

以下函数将计算与gluPerspective相同的投影矩阵:

#include <array>

const float cPI = 3.14159265f;
float ToRad( float deg ) { return deg * cPI / 180.0f; }

using TVec4  = std::array< float, 4 >;
using TMat44 = std::array< TVec4, 4 >;

TMat44 Perspective( float fov_y, float aspect )
{
    float fn = far + near
    float f_n = far - near;
    float r = aspect;
    float t = 1.0f / tan( ToRad( fov_y ) / 2.0f );

    return TMat44{ 
        TVec4{ t / r, 0.0f,  0.0f,                 0.0f },
        TVec4{ 0.0f,  t,     0.0f,                 0.0f },
        TVec4{ 0.0f,  0.0f, -fn / f_n,            -1.0f },
        TVec4{ 0.0f,  0.0f, -2.0f*far*near / f_n,  0.0f }
    };
}

3在透视投影中恢复 View 空间位置的解决方案

带有视野和纵横比

由于投影矩阵由视场和宽高比定义，因此可以利用视场和宽高比恢复视口(viewport)位置。如果它是对称的透视投影，并且已标准化的设备坐标，则深度和近，远平面都是已知的。

恢复 View 空间中的Z距离:

z_ndc = 2.0 * depth - 1.0;
z_eye = 2.0 * n * f / (f + n - z_ndc * (f - n));

通过XY归一化的设备坐标恢复 View 空间位置:

ndc_x, ndc_y = xy normalized device coordinates in range from (-1, -1) to (1, 1):

viewPos.x = z_eye * ndc_x * aspect * tanFov;
viewPos.y = z_eye * ndc_y * tanFov;
viewPos.z = -z_eye; 

2. 和投影矩阵

由视场和纵横比定义的投影参数存储在投影矩阵中。因此，可以通过对称矩阵投影中的投影矩阵中的值恢复视口(viewport)位置。

注意投影矩阵，视场和宽高比之间的关系:

prjMat[0][0] = 2*n/(r-l) = 1.0 / (tanFov * aspect);
prjMat[1][1] = 2*n/(t-b) = 1.0 / tanFov;

prjMat[2][2] = -(f+n)/(f-n)
prjMat[2][2] = -2*f*n/(f-n)

恢复 View 空间中的Z距离:

A     = prj_mat[2][2];
B     = prj_mat[3][2];
z_ndc = 2.0 * depth - 1.0;
z_eye = B / (A + z_ndc);

通过XY归一化的设备坐标恢复 View 空间位置:

viewPos.x = z_eye * ndc_x / prjMat[0][0];
viewPos.y = z_eye * ndc_y / prjMat[1][1];
viewPos.z = -z_eye; 

3. 与逆投影矩阵

当然，可以通过反投影矩阵来恢复视口(viewport)位置。

mat4 inversePrjMat = inverse( prjMat );
vec4 viewPosH      = inversePrjMat * vec4(ndc_x, ndc_y, 2.0*depth - 1.0, 1.0)
vec3 viewPos       = viewPos.xyz / viewPos.w;

进一步了解:

How to render depth linearly in modern OpenGL with gl_FragCoord.z in fragment shader?

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Perspective projection and view matrix: Both depth buffer and triangle face orientation are reversed in OpenGL

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