c++ - 硬币找零(硬币值(value)是 m 的幂)

Question

下面的问题是在比赛中(现在已经结束了) 比赛link .

它似乎是经典硬币面额问题的变体 - 给定一个具有硬币值和数字 n 的数组(k 个元素)。我们需要回答有多少种方法可以确定 n 的面额。我们可以通过DP来解决这需要 O(n*k)时间。现在在竞赛问题中，不是给出硬币值数组，而是有一个值 m，硬币值是 m ex 的所有可能的幂。 n= 200, m=3.所以我们有 [3^0, 3^1, 3^2, 3^3, 3^4] 的硬币值(value), 更高的权力对这个例子没有用]。

我用了DP在这里接近但它给TLE .通过看时间限制testcases<=10000 , n<=10000 , m<=10000 ，我假设我们必须解决给定的 n,m在O(n)时间[可能还需要优化这个。请帮我解决这个问题。 我的解决方案使用 DP .

#include <bits/stdc++.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;

int solve(vector<int>&vec, int n){
    cout<<"n= "<<n<<": m= "<<vec.size()<<endl;
    int r=n+1, c=vec.size()+1;
    vector<int>row(c,0);
    vector<vector<int> >dp(r, row);
    for(int i=0;i<c;i++)
        dp[0][i]=1;
    for(int i=1;i<r;i++){
        for(int j=1;j<c;j++){
            int a=0;
            if(i-vec[j-1]>=0)
                a=dp[i-vec[j-1]][j];
            dp[i][j]=a+dp[i][j-1];
        }
    }
    return dp[n][c-1];
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    int tc,n,m;
    cin>>tc;
    while(tc--){
        cin>>n>>m;
        vector<int>temp;
        int index=0;
        temp.push_back(1);
        while(temp[index]*m<=n){
            temp.push_back(temp[index]*m);
            index++;
        }
        int result=solve(temp,n);
        cout<<result<<endl;
    }
    return 0;
}

Answer 1

“硬币找零”和类似的分区问题通常会从内存中受益匪浅。我发现没有任何基于 m 次方硬币值的巧妙数学技巧可以击败带有内存的简单递归算法。
(在 this answer 的一个相关问题中，我更详细地说明了记忆化对分区算法的影响)

下面的 Javascript 代码示例在 0.026 毫秒内解决了 n,m = 200,3 的示例，以及 n,m = 10000,2 的最坏情况> 在我的 i5 桌面上为 2.8 毫秒；我不知道比赛的时间限制是什么，但是10000个随机案例大约需要3秒。而 C++ 实现当然会快得多。

function coinPowers(n, m) {
    if (n < 1 || m < 1) return 0;
    if (n < m || m == 1) return 1;
    var power = Math.floor(Math.log(n) / Math.log(m));
    var memo = [];
    for (var i = 0; i < n; i++) memo[i] = [];
    return partition(n, m, power);

    function partition(n, m, power) {
        var count = memo[n - 1][power];
        if (count) return count;
        var coin = Math.pow(m, power), count = 1;
        for (var p = power; p > 0; coin /= m, p--) {
            if (coin < n) count += partition(n - coin, m, p)
            else if (coin == n) ++count;
        }
        return (memo[n - 1][power] = count);
    }
}

document.write(coinPowers(200, 3) + "<BR>");
document.write(coinPowers(200, 2) + "<BR>");
document.write(coinPowers(10000, 2) + "<BR>");