java - 计算与给定数 N 相乘形成的非素数对的数量，

Question

形成 N 的非素数对是 2 个不同的非素数，其中数字的乘积为 N。

1<=N<=10^6

例如 对于 N = 24，有 2 个好的对(形成 N 的非素数对)(4,6)，(1,24)，但是 (2,12)，( 3,8) 不好。

注意:对于任意 2 个数字 a 和 b pair(a,b) = pair(b,a)。

还有一个条件是如果这个数是特殊数，那么output = -1 否则统计非素数的个数。

能表示为三个素数的乘积的数称为特殊数。示例:12 是一个特殊数字，因为 12=2*2*3；

我尝试使用 https://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_of_Eratosthenes 进行暴力破解 , 这需要 O(N*log(log(N))。

“除了暴力破解，还有什么更优化的解决方法吗？”

任何想法将不胜感激。

提前致谢。

Answer 1

首先，Eratosthenes 的筛法是 O(N*log(log(N)) 列出所有小于或等于 N 的素数(当 well implemented 时)。

第二:假设您将您的数字分解为具有多重性的 Q 素数，如果不进行筛选，最坏情况下是 O(sqrt(N)) 的过程(最坏情况:您的数字是素数)。所以你有一张 map :

• p₀ -> 多重性 m₀
• p₁ -> 多重性 m₁
• ...
• p_Q -> 多重性 m_Q

有多少个因数乘以至少 2 个质因数？

好吧，它们会有 m0*m1*...mq [此处更正]。为什么？好吧，准备一个由每个因数(包括 p_i⁰==1)的幂生成的所有除数的列表，但划掉幂为 1。

• {1, p₀, p₀², ...p₀^m0} 是 m0 生成除数的方法，具有 p0 除了 p0
的幂
• {1, p₁, p₁², ...p₁^m1} 是 m1 生成除数的方法，具有 p1 除了 p1
的幂
• ...
• {1, p_Q, p1^Q, ...p1^mQ} 是 mQ 使用 pQ
的幂生成除数的方法

具有非素因数的所有组合的数量(因为 1 已包含在每个集合中，并且每个素因数本身都被排除在外)将是上述所有项的笛卡尔积的基数子集 - 因此是各个基数的乘积，因此 m0*m1*...mq

---

代码 - Java

import java.util.HashMap;
import java.util.Map;

class Example {

  static void factor(long N, Map<Long, Short> primesWithMultiplicity) {
    // some arg checking and trivial cases
    if(N<0) N=-N;
    if(0==N) {
       throw new IllegalArgumentException(
         "Are you kidding me? Every number divides 0, "+
         "you really want them all listed?"
       );
    }
    if(1==N) {
      primesWithMultiplicity.put(1L,(short)1);
      return;
    }

     // don't try divisors higher than sqrt(N), 
    // if they would have been detected by their composite-complement 
    for(long div=2; div*div < N; ) {
      short multiplicity=0;
      while((N % div)==0) {
        multiplicity++;
        N /= div; // reduce N
      }
      if(multiplicity>0) {
        primesWithMultiplicity.put(div, multiplicity);
      }
      div+= (div == 2 ? 1 : 2); // from 2 to 3, but then going only on odd numbers
    }
    // done.. well almost, if N is prime, then 
    // trying to divide up to sqrt(N) will lead an empty result. But,
    // in this case, N will still be at original value (as opposed 
    // to being 1 if complete factored)
    if(N>1) {
      primesWithMultiplicity.put(N, (short)1);
    }
  }

  static int countDistinctCompositePairs(long N) {
    HashMap<Long, Short> factoringResults=new HashMap<>();
    factor(N, factoringResults);
    int ret=1;
    for(short multiplicity : factoringResults.values()) {
      ret*=multiplicity;
    }
    return ret/2;
  }

  static public void main(String[] args) {
    System.out.println(countDistinctCompositePairs(24));
  }
}