algorithm - 寻找二维平面上n个点的几何中心——曼哈顿距离

Question

假设我们在 M-by-M 网格上有 p 个随机点。我们想在网格上找到到所有 p 点的曼哈顿距离之和最小的点。

我的想法:我认为也许通过对所有 x 和 y 求平均值并尝试接近该点的所有 9 个点，我们可能会找到请求的点。但似乎这种方法不起作用:

static void find_center(int p , int M){
    int[][] point = new int[p][2]; // initializing p points as random
    Random r = new Random();
    for (int i = 0 ; i < p ; i++){
        point[i][0] = r.nextInt(M);
        point[i][1] = r.nextInt(M);
    }
    //the naive brute force approach to find the real closest point on the grid
    int min_distance = Integer.MAX_VALUE;
    int[] result = new int[2];
    for (int i = 0 ; i < M ; i++){
        for (int j = 0 ; j < M ; j++){
            int d = 0;
            for (int k = 0 ; k < point.length ; k++){
                d += Math.abs(i - point[k][0]);
                d += Math.abs(j - point[k][1]);
            }
            if (d < min_distance){
                min_distance = d;
                result[0] = i;
                result[1] = j;
            }
        }
    }
    System.out.println(min_distance);
    System.out.println(result[0] + " : " + result[1]);
    //the other proposed approach
    System.out.println("---------");
    int x = 0;
    int y = 0;
    for (int i = 0 ; i < point.length ; i++){
        x += point[i][0];
        y += point[i][1];
    }
    x /= point.length;
    y /= point.length;
    min_distance = Integer.MAX_VALUE;
    for (int a : new int[] {-1,0,1}){
        for (int b : new int[] {-1,0,1}){
            int d = 0;
            for (int k = 0 ; k < point.length ; k++){
                d += Math.abs(x + a - point[k][0]);
                d += Math.abs(y + b - point[k][1]);
            }
            if (d < min_distance){
                min_distance = d;
                result[0] = x + a;
                result[1] = y + b;
            }
        }
    }
    System.out.println(min_distance);
    System.out.println(result[0] + " : " + result[1]);
    return;
}

Answer 1

我认为您正在寻找的点位于中值 X 和中值 Y:X 和 Y 在它们之前(分别在 X 和 Y 维度中)和之后的点一样多)。

此时，向左或向右移动不会减少总距离，因为左右连接的数量相同。上下 Y 也是如此。

这是由于曼哈顿距离的定义有些特殊，其实你可以分别计算X和Y的曼哈顿距离总和，然后相加。

编辑:中位数很容易计算，只需列出 X 的所有值，对其进行排序，然后选择列表中间的那个。 Y 也一样。