c++ - 求大 n 和 k 模 m 的二项式系数

Question

我想用以下约束计算 nCk mod m:

n<=10^18

k<=10^5

m=10^9+7

我已阅读这篇文章:

Calculating Binomial Coefficient (nCk) for large n & k

但是这里m的值是1009，所以利用卢卡斯定理，我们只需要计算1009*1009个不同的aCb值，其中a,b<=1009

如何在上述约束下做到这一点。 我无法在给定约束条件下制作 O(m*k) 空间复杂度的数组。

帮助!

Answer 1

(n, k)的二项式系数的计算公式为:

(n, k) = n! / k! / (n - k)!

为了对大数 n 和 k modulo m 进行此操作，请注意:

1. 一个数的阶乘 m 可以逐步计算，在 每一步取结果%m。然而，这对于 n 高达 10^18 来说太慢了。所以有faster methods其中复杂性受模数限制，您可以使用其中的一些。

2. 除法(a/b) mod m等于(a * b^-1) mod m，其中b^- 1 是 b 模 m 的倒数(即 (b * b^-1 = 1) mod m) .

这意味着:

(n, k) mod m = (n! * (k!)^-1 * ((n - k)!)^-1) mod m

可以使用 Extended Euclidean algorithm 有效地找到数字的倒数.假设您已经解决了阶乘计算问题，算法的其余部分很简单，只需注意乘法运算时的整数溢出。以下是适用于 n=10^9 的引用代码。为了处理更大的数字，应将阶乘计算替换为更高效的算法，并且应稍微调整代码以避免整数溢出，但主要思想将保持不变:

#define MOD 1000000007

// Extended Euclidean algorithm
int xGCD(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }

    int x1, y1, gcd = xGCD(b, a % b, x1, y1);
    x = y1;
    y = x1 - (long long)(a / b) * y1;
    return gcd;
}

// factorial of n modulo MOD
int modfact(int n) {
    int result = 1;
    while (n > 1) {
        result = (long long)result * n % MOD;
        n -= 1;
    }
    return result;
}

// multiply a and b modulo MOD
int modmult(int a, int b) {
    return (long long)a * b % MOD;
}

// inverse of a modulo MOD
int inverse(int a) {
    int x, y;
    xGCD(a, MOD, x, y);
    return x;
}

// binomial coefficient nCk modulo MOD
int bc(int n, int k)
{
    return modmult(modmult(modfact(n), inverse(modfact(k))), inverse(modfact(n - k)));
}