algorithm - 实现密度函数

Question

我正在看我的书，它说“为这个密度函数写一个采样算法”

y=x^2+(2/3)*x+1/3; 0 < 𝑥 < 1

或者我可以使用蒙特卡洛？ 任何帮助将不胜感激!

Answer 1

我假设您的意思是要生成随机 x 值，这些值具有由密度 y(x) 指定的分布。

通常需要通过对密度进行积分来导出累积分布函数，并使用 inverse transform sampling生成 x 值。在您的情况下，CDF 是三阶多项式，它不会产生简单的立方根解，因此您必须使用数值求解器来求逆。是时候考虑替代方案了。

另一种选择是使用 acceptance/rejection method .检查导数后，很明显你的密度是凸的，所以通过从 f(0) 画一条直线到f(1)。这会产生 b(x) = 1/3 + 5x/3。此边界函数的面积为 7/6，而您的 f(x) 的面积为 1，因为它是有效密度。因此，在 b(x) 下统一生成的点中有 6/7 也将落在 f(x) 下，并且 7 次尝试中只有 1 次会在拒绝方案中失败.这是 f(x) 和 b(x) 的图:

由于 b(x) 是线性的，因此很容易生成 x 值，在缩放 6/7 后将其用作分布，使其成为有效的分布函数.以伪代码表示的算法变为:

function generate():
  while TRUE:
    x <- (sqrt(1 + 35 * U(0,1)) - 1) / 5     # inverse CDF transform of b(x)
    if U(0, b(x)) <= f(x):
      return x
  end while
end function

其中U(a,b)表示生成一个在a和b之间均匀分布的值，f(x) 是你的密度，b(x) 是上面描述的边界函数。

我实现了上述算法以生成 100,000 个候选值，其中 14,199(~1/7)个被拒绝，正如预期的那样。最终结果显示在以下直方图中，您可以将其与上图中的 f(x) 进行比较。