algorithm - 证明 AVL 树可以有节点数不是彼此的 Θ 的子节点

Question

令 T 为一棵 AVL 树，其左子树为 T_L，右子树为 T_R。让我们让 |T_L|和|T_R|分别为左右子树的节点数。

我需要证明 |T_R| ≠ Θ(|T_R|) 反之亦然，但我不知道如何。我认为这与一棵树是完整的 AVL 树而另一棵是最小的 AVL 树(斐波那契树)的情况有关，但我不知道从那里该怎么做。

Answer 1

在高度为 h 的 AVL 树中，节点数介于 F_h+2 - 1 和 2^h - 1 之间。第一个量是 Θ(φ ^h)，第二个是 Θ(2^h)，其中 φ 是黄金比例，约为 1.61。这意味着您可以构造 AVL 树，其中左子树中的节点数为 Θ(φ^h)，右子树为 Θ(2^h)，这意味着左子树的节点数逐渐少于右子树的节点数。然后可以左右反转，证明右子树也不可能是左子树的Θ。

希望这对您有所帮助!