c - 我无法理解这个 Horner 规则在扩展字段 GF(p^n) 中的实现

Question

我试图从 this (old) implementation on github 了解 Shamir 的 secret 共享计划的实现，我在扩展字段 GF(p^n) 中与 Horner 规则作斗争:

void horner(int n, mpz_t y, const mpz_t x, const mpz_t coeff[])
{
  int i;
  mpz_set(y, x);
  for(i = n - 1; i; i--) {
    field_add(y, y, coeff[i]);
    field_mult(y, y, x);
  }
  field_add(y, y, coeff[0]);
}

为什么add先出现，然后才出现mult？算法是什么？为什么不是这样的:

  mpz_set(y,coeff[n-1]);
  for(i = n - 2; i!=-1; i--) {
    field_mult(y, y, x);
    field_add(y,y,coeff[i]);
  }

Answer 1

用正常的加法和乘法符号翻译这个horner函数，我们得到:

y = x;                     // mpz_set(y, x);
for(i = n - 1; i; i--) {
    y = y + coeff[i];      // field_add(y, y, coeff[i]);
    y = y * x              // field_mult(y, y, x);
}
y = y + coeff[0]           // field_add(y, y, coeff[0]);

因此计算如下:

您可以看到它不计算任何多项式，但它是计算 monic polynomial 的 Horner 算法的变体。 .

现在你的建议是:

y = coeff[n-1];               // mpz_set(y,coeff[n-1]);
for(i = n - 2; i!=-1; i--) {
    y = y * x;                // field_mult(y, y, x);
    y = y + coeff[i];         // field_add(y,y,coeff[i]);
}

因此您可以计算以下内容:

您可以看到缺少最高阶项。

如果你想把所有的操作都放在循环体内，你可以。 毕竟，这只是以不同方式分解一系列交替指令的两种方法:

operation    value of y                                    loop iteration
                                                 add-mult loop      mult-add loop
                x                               initialization         n-1
add       x + coeff[n-1]                             n-1               n-1
mult     (x + coeff[n-1]) * x                        n-1               n-2
add      (x + coeff[n-1]) * x + coeff[n-2]           n-2               n-2
mult    ((x + coeff[n-1]) * x + coeff[n-2]) * x      n-2               n-3
          ...etc...

但是您需要显式地将y初始化为值1(这是隐式的coeff[n])，这样您就可以开始通过乘以 x 得到正确的最高阶项。

y = 1;                        // mpz_set(y,1);
for(i = n - 1; i!=-1; i--) {  // NOTICE n - 1 NOT n - 2
    y = y * x;                // field_mult(y, y, x);
    y = y + coeff[i];         // field_add(y,y,coeff[i]);
}

您可以算一下，您现在又执行了一次乘法，它是乘以 1 * x。在有限域上，这通常使用对数表和反对数表来完成，因此您最好避免这种无用的乘法，特别是如果您要经常计算多项式。

TL;DR:这种编写 Horner 算法的方法将最后一次加法和第一次乘法放在循环体之外。因为最高阶系数是 1，所以这个乘法被完全删除。

澄清一下:保留了最高阶项，但它是 x^n 而不是 1 * x^n。您为完全相同的结果节省了一次乘法。