c++ - 使用 Kadane 算法求模的最大子数组

Question

我正在尝试解决 hackerrank 问题 - 最大子数组模数 - 此处描述 https://www.hackerrank.com/challenges/maximum-subarray-sum/problem 。 我很好奇这个问题是否可以用 Kadane 算法解决。

目标:给定一个 n 元素整数数组和一个整数 'm' ，确定其任何子数组的总和以 'm' 为模的最大值。

输入格式:

1) 第一行包含一个整数“q”，表示要执行的查询数。每个查询都用两行来描述:

a) 第一行包含两个空格分隔的整数 描述 - 数组长度和模数。

b) 第二行包含空格分隔的整数，描述 数组的元素。

这是我想出的可能的 C++ 代码。某些测试用例失败(抱歉，测试用例太大，无法在此处发布)。您能否评论/评论为什么这可能行不通？谢谢。

#include <bits/stdc++.h>

int main()
{
    uint64_t q = 0, n = 0, m = 0;

    std::cin >> q;
    std::cin >> n;
    std::cin >> m;

    while(q) {
        std::vector<uint64_t> vec;
        for (uint64_t i = 0; i < n; i++) {
            uint64_t num;
            std::cin >> num;
            vec.push_back(num);
        }
        uint64_t subArrayMax = 0;
        uint64_t maxMod = 0;
        for (uint64_t i = 0; i < n; i++) {
            // Kadane's algorithm.
            subArrayMax = std::max(subArrayMax, subArrayMax+vec[i]); // try (a+b)%m=(a%m+b%m)%m trick?
            maxMod = std::max(maxMod, subArrayMax % m);
        }
        std::cout << maxMod;
        --q;
    }
}

Answer 1

Kadane 算法在这里不起作用，因为它涉及模运算的性质。

首先您必须了解 Kadane 算法为何有效:它是一个简单的动态规划，可以回答以下问题:

If we know the maximum sum end at index i-1, then maximum sum end at i is either append a[i] to the subarray yielding answer at i-1, OR not appending it

对于模运算，这是行不通的。例如:

Let A = {1,2,3,4}, M = 6

对于Kadane算法，当然，最大和就是将所有元素相加，并且可以使用上面引用的思想找到它:继续附加a[i]进入之前找到的最大总和。

但如果我们找到最大和 % 6，那么答案是 (2+3)%6 = 5，而不是 (1+2+3)%6 = 0 或 (1+2+3+4)%6 = 4。最大总和越大，不意味着的总和越佳最大总和% M。因此，您的目标甚至不是找到最大总和。

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这个问题可以在O(N lg N)中解决使用 Kadane 算法的修改版本。

对于特定索引i，

让DP(i) = 最大子数组和 % M 在 i 结束

让PS(i)是在 i

处结束的前缀和 % M

自然你会开始思考如何找到一些j < i其中(PS(i) - PS(j)+ M) % M是最大的。 (假设您知道如何预计算 PS 和基本模运算)

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这是核心部分:事实证明

DP(i) = max(PS(i), (PS(i) - PS(j) + M) % M

Where PS(j') is the smallest number larger than PS(i) out of all j < i

为什么？因为看公式，如果PS(j') < PS(i) ，那么当然最好不要减去 PS(i) 中的任何内容.

但是如果PS(j') > PS(i) ，那么我们可以将公式重写为:(M - x)%M ，那么我们想要 x = PS(j')-PS(i)尽可能小，以便 (M - x)%M是最大的。

与 Kadane 的算法相同，我们跟踪整个过程中找到的最大答案。

我们可以使用优先级队列或者设置数据结构来查找这样的j'对于所有人i上线，实现O(N lg N)总共。您可以在下面看到接受的代码的详细信息:

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;

int T;
set<LL> pre;
LL n, M, a[100010], ans, sum;

int main() {
    cin >> T;
    while(T--){
        ans = sum = 0;
        pre.clear();
        cin >> n >> M;
        for(int i=0; i<n;i++) cin >> a[i];
        for(int i=0; i<n; i++){
            (sum += a[i]) %= M;
            ans = max(ans, sum);
            ans = max(ans, (sum - *(pre.upper_bound(sum))+M)%M);
            pre.insert(sum);
        }
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}