c++ - 计数 "minimal"个值

Question

问题:

我有 n 个 vector 的输入:

(x, y, z): x ∈ {1..n},y ∈ {1..n},z ∈ {1..n} (every "dimension" is set(1..n))
*I mean that in one vector x,y,z can be the same(x=y=z),
 but for ∀v1,v2 => x1≠x2, y1≠y2, z1≠z2

v1>v2 if and only if x1>x2,y1>y2,z1>z2. 
lets denote vector v1 "minimal" if and only if ∄v ∈ input: v>v1

任务是计算输入中的最小 vector 。

来源:

我在本地编程竞赛的任务中发现了这个问题。

(翻译的)公式是:

n people participeted in competion. competion had three phases(every competitor 
took part in every stage). denote that the participant is better then 
participant b, if a ranks in all three stages is higher then participant b ranks. 
participant c is the best, if there is no such participant who is better 
than participant c. output the number of best participants.

1<=n<=100000 时间限制:1 秒

我的尝试&想法

第一个想法是创建类 Result(用于竞争对手的结果)，重载运算符 >(或 <)，就像:

bool operator > (const Score &s) const
{
    if (first_result > s.first_result)
        if (second_result > s.second_result)
            return third_result > s.third_result;
    return false;
}

并构建任何基于数组(例如最小堆)，允许找到最小值(使用 <)并计算它们(我想我只是按照这种方式“重新创建”了堆排序的一个坏变体)。这次尝试失败后，我尝试使用 Fenwick 树(二叉索引树)来完成相同的任务。

但后来我明白我的方法是不正确的(不是 ok class 和 < overload)并且 mb 在 1d 中转换任务的想法一点也不好。

然后我找到了一些关于 BIT 和 n 维情况下的线段树的信息，我认为我可以用它们来解决这个问题。但是我很难实现工作变体(甚至在超过 1d 的情况下理解线段树的工作原理)

也许有人可以帮助实现(或找到更好的解决方案并进行解释)？

Answer 1

首先，我们需要一个有序的键/值数据结构，您可以插入、删除和查找小于或等于您自己时间的上一个/最后一个值 O(log(n))。想想红黑树或 btree 或跳跃列表。

我将为该数据结构使用以下发明的符号。我故意让它看起来不像任何真实的语言。

by_order.prev(key) 给出与最大键相关联的 k-v 对 <= to key。 by_order.prev(key).k 给出最大的键 <= to key。这可以是 None。 by_order.prev(key).v 给出与最大键相关联的值 <= to key。 by_order.next(key) 给出与最小键关联的 k-v 对 >= 到 key with .k 和 .v 表示他们之前所做的。 by_order.add(key, value) 添加一个 k-v 对。 by_order.del(key) 删除值为 key 的 k-v 对。

思路是这样的。我们首先按 x 排序，然后按 y 排序，然后按 z 排序。第一个 vector 是最小的。如果它的 z 值小于 z 的最低值，则之后的每个 vector 都是最小的，对于任何具有小于或等于 y 的元素。我们将使用 by_order 数据结构来测试该条件。

假设我没有出错，这是伪代码:

sort(vectors) by x then y then z
Declare and initialize your empty ordered data structure by_order
// NOTE: by_order[val] will be the value of the largest key <= val
answer = [] // ie an empty list
answer.push(vectors[0])
by_order.add(vectors[0].y, by_order[vectors[0].z)
for v in vectors:
    z_best = by_order.prev(v.y).v
    if z_best is None or v.z < z_best:
        answer.push(v) // Yay!
        // Clear anything in by_order that we are an improvement on
        while True:
            pair = by_order.next(v)
            if pair.v is not none and pair.k < v.z:
                by_order.del(pair.v)
            else:
                break
        // and now we add this one to by_order.
        by_order.add(v.y, v.z)

排序的总时间是O(n log(n))。

后面是每个 n vector 的 O(log(n)) 查找以查看是否插入它，可能后面是 O(1 ) 插入到答案中，O(log(n)) 查找仍然跟随它的内容(别担心，我没有忘记那些被删除的)，接着是 O(log(n)) 插入，接着是 O(log(n)) 检查发现这个需要删除，然后是 O(log(n)) 删除。

这是很多 O(log(n)) 项，但总和仍然是 O(log(n))。 n 次。

结果是整个问题的O(n log(n)) 算法。