algorithm - 取三种可能情况中的最大值的最长公共(public)子序列

Question

我将最长公共(public)子序列作为:

LCS(m,n) = max( LCS(m-1,n), LCS(m,n-1), LCS(m-1,n-1) + (String1[m]==String2[n]) );

而文本显示问题的逻辑如下:

if( String1[m]==String2[n] )
    LCS(m,n) = LCS(m-1,n-1) + 1;
else LCS(m,n) = max( LCS(m-1,n), LCS(m,n-1) );

我的方法会产生错误的结果吗？如果是，那么在什么样的情况下？如果是正确的，你如何证明正确性？

提前致谢!

Answer 1

我的(糟糕的)Java 版本可以正常运行吗？

//'main' method must be in a class 'Rextester'.
//Compiler version 1.8.0_111

import java.util.*;
import java.lang.*;

class Rextester
{
    public static void main(String args[])
    {
        int[] a = {1,1,1,1,2,3,2,3};
        int[] b = {1,1,1,1,3,4,3,4};
        System.out.println(solve(a, b).toString());
        System.out.println(solve2(a, b).toString());
    }

    private static void printL(int[][]len, int m, int n, int[] a, int[] b)
    {
        System.out.print("  a→ ");
        for (int j = 0; j < m; ++j)
        {
            System.out.print(a[j]);
            System.out.print(" ");
        }
        System.out.println();
        for (int i = 0; i <= n; ++i)
        {
            if (i > 0) { System.out.print(" "); System.out.print(b[i-1]); System.out.print(" "); }
            else { System.out.print("b↓ "); }
            for (int j = 0; j <= m; ++j)
            {
                System.out.print(len[i][j]);
                System.out.print(" ");
            }
            System.out.println();
        }
    }

    private static List<Integer> solve(int[] a, int[] b)
    {
        int m = a.length;
        int n = b.length;
        System.out.println("Method 1");

        int[][] len = new int[n+1][m+1];
        for (int i = 0; i < n; ++i)
            for (int j = 0; j < m; ++j)
                len[i+1][j+1] = a[j] == b[i] ? 1 + len[i][j] : Math.max(len[i+1][j], len[i][j+1]);
        printL(len, m, n, a, b);


        List<Integer> c = new ArrayList<Integer>();
        for (int i = n - 1, j = m - 1; len[i+1][j+1] > 0;)
        {
            if (a[j] == b[i]) { c.add(a[j]); i--; j--; }
            else if (len[i+1][j] < len[i][j+1]) i--;
            else j--;
        }
        Collections.reverse(c);
        return c;
    }

    private static List<Integer> solve2(int[] a, int[] b)
    {
        int m = a.length;
        int n = b.length;
        System.out.println("Method 2");

        int[][] len = new int[n+1][m+1];
        for (int i = 0; i < n; ++i)
            for (int j = 0; j < m; ++j)
                len[i+1][j+1] = Math.max(Math.max(len[i+1][j], len[i][j+1]), (a[j] == b[i] ? 1 : 0) + len[i][j]);
        printL(len, m, n, a, b);

        List<Integer> c = new ArrayList<Integer>();
        for (int i = n - 1, j = m - 1; len[i+1][j+1] > 0;)
        {
            if (a[j] == b[i]) { c.add(a[j]); i--; j--; }
            else if (len[i+1][j] < len[i][j+1]) i--;
            else j--;
        }
        Collections.reverse(c);
        return c;
    }
}

rextester 上的输出:

Method 1
  a→ 1 1 1 1 2 3 2 3 
b↓ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 
 1 0 1 2 2 2 2 2 2 2 
 1 0 1 2 3 3 3 3 3 3 
 1 0 1 2 3 4 4 4 4 4 
 3 0 1 2 3 4 4 5 5 5 
 4 0 1 2 3 4 4 5 5 5 
 3 0 1 2 3 4 4 5 5 6 
 4 0 1 2 3 4 4 5 5 6 
[1, 1, 1, 1, 3, 3]
Method 2
  a→ 1 1 1 1 2 3 2 3 
b↓ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 
 1 0 1 2 2 2 2 2 2 2 
 1 0 1 2 3 3 3 3 3 3 
 1 0 1 2 3 4 4 4 4 4 
 3 0 1 2 3 4 4 5 5 5 
 4 0 1 2 3 4 4 5 5 5 
 3 0 1 2 3 4 4 5 5 6 
 4 0 1 2 3 4 4 5 5 6 
[1, 1, 1, 1, 3, 3]

我粗略的证明:

如果您查看上表中的任何行 LCS(m)，您会发现它们的值都是递增的，或者它们都是单调递增的。它们不能递减，因为 LCS(m,n) 表示长度为 m 的 (sub)string1 和长度为 n 的 (sub)string2 的最长公共(public)子序列，如果 n2 >= n1 那么 LCS(m,n2) >= LCS(m, n1) 因为如果 n2 >= n1，LCS(m,n2) 包含 LCS(m,n1)。

对于 LCS(n) 列，您使用相同的证明。现在你有 LCS(m,n) <= LCS(m,n+1) 和 LCS(m,n) <= LCS(m+1,n)，这意味着你在所有三种可能情况中取最大值是正确的。

LCS(m,n) = max( LCS(m-1,n), LCS(m,n-1), LCS(m-1,n-1) + (String1[m]= =String2[n])); 只有当 String1[m] != String2[n] 和 (LCS(m-1,n-1) > LCS(m,n-1) 时才会走错路径> 或 LCS(m-1,n-1) > LCS(m-1,n))，但后者是 (LCS(m-1,n-1) > LCS (m,n-1) 或 LCS(m-1,n-1) > LCS(m-1,n)) 永远不会发生。所以你的做法是正确的。