c# - 在时间轴恒定的位置和速度给定点的情况下构造曲线桥图的算法

Question

我在记录一个物体随时间变化的位置和速度。我需要形成一个图，其中x轴是连续的（时间），y轴是对象（x，y，z）的3个维度之一。我将为三个轴中的每一个构建一个图。当记录一个点时，我有它的时间和位置/速度。这不是一条最合适的直线；它需要遍历每个点，并尽可能准确地预测对象在采样之间的位置。我试图以非线性的方式在记录的点之间进行插值。
我不确定这个数据类型会是什么样子来存储曲线。稍后我需要反转这个图表，这样我可以播放录音。我知道图表是方程式，我需要一个函数，在这里我可以输入一个值（时间）并返回一个结果（位置）。
所以我要重申我的两部分问题：
此图应存储为哪种数据类型？
我可以使用什么算法来提供时间、位置和速度？
我在用C。

Answer 1

由于你知道物体在每个时间点的位置和速度，自然选择使用cubic spline插值。
具体地说，让对象在时刻t0的位置和速度矢量为x0和v0，并且让对应的时刻t1>t0的位置和速度为x1和v1然后有一个唯一的三次多项式：
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p（t）=3+bt2+ct+d时
带导数：
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P’（T）=3AT2+2BT+C
使p（t0）=x0，p’（t0）=v0，p（t1）=x1和p’（t1）=v1。
通过选择x（t）=p（t）和v（t）=p’（t），我们可以使用此多项式插值对象在任意时刻的位置和速度t0≤t≤t1。
可以直接从上述边界条件求解p的系数a、b、c、d，但实际上，最容易的方法是通过将时间偏移并重新缩放t（tt0）/（t1t0）开始，这样t0映射到0，t1映射到1。（注意，这也要求我们将速度重新定标为v0*=v0/（t1-t0）和v1*=v1/（t1-t0）。
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P（0）=D=X0，
P’（0）=C=V0*，
P（1）=A+B+C+D=x1，
P'（1）=3A+2B+C=v1*。
前两个方程直接给出了系数c和d，所以我们只需要解a和b。一点线性代数就可以得到解：
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a=v0*+v1*+2（x0-x1），
b=-2v0*-v1*-3（x0-x1），
c=v0*，
d=x0。
然后，我们可以将这些值重新插入到上述p的定义中，并在t*=（t-t0）/（t1-t0）对其进行求值，以获得对象在时间t时的插值位置。为了获得速度，我们可以将相同的值插入到p中，在t*对其求值，并将结果乘以（t1-t0）以将其重新缩放到适当的时间。
由于这是堆栈溢出，下面是一些简单的python代码：

def interpolate (t, t0, x0, v0, t1, x1, v1):
    # scale time so that t0 -> 0 and t1 -> 1
    timescale = t1 - t0
    t = (t - t0) / timescale
    v0 /= timescale
    v1 /= timescale

    # calculate the coefficients of the polynomial
    a = v0 + v1 + 2*(x0 - x1)
    b = -2*v0 - v1 - 3*(x0 - x1)
    c = v0
    d = x0

    # calculate position and velocity at time t
    x = ((a*t + b)*t + c)*t + d
    v = ((3*a*t + 2*b)*t + c) * timescale
    return (x, v)

（将其转换为C应该很简单，因为基本算法在两种语言中的工作原理相同。）
请注意，可以通过将位置和速度（以及多项式系数）视为向量，同时在所有三维中进行插值，也可以一次在一维中进行插值；插值的位置和速度与原始位置和速度成线性关系，所以结果是相同的（不取决于你如何选择你的坐标轴）。