algorithm - 如何使我的斐波那契与模块化算术更有效地找到皮萨诺循环？

Question

出于教育目的，我正在用 Python3 构建代码以实现此目标:

我认为我在这个问题上做得很好，因为我处于初级/中级水平。这个问题是高级的，不是强制性的。

我使用一个缓慢但安全的函数作为“对照组”进行了压力测试。之后，我能够创建一个更快的函数。

但是，我的实现对于某些皮萨诺循环来说是有问题的。 正如您在这里看到的那样: http://webspace.ship.edu/msrenault/fibonacci/fiblist.htm 一些 mod 可以创建巨大的 Pisano 周期性循环...

我的函数对于像 <249 这样的模组工作得非常快......但是，我不知道如何处理像 1570 这样的模组，它生成一个总长度为 4740 个数字的模式/循环......那是涉及的不是 001 我们的 12113 而是 4740 个数字的循环模式...

我试着寻找解决这个问题的方法。我能够找到解决问题的不同方法。尽管如此，我还是想尝试修复我的实现，使其在循环识别部分更快——如果这可能的话……

那是我的代码。

coursera_input = (input())
coursera_input = (coursera_input.split())
n_in = int(coursera_input[0])
mod_in = int(coursera_input[1])

import random

def my_fibo_iter(x):
    if x<=1:
        return x
    else:
        bef_previous_elem = 0
        previous_elem = 1
        current = 0
        count = 1
        while count<x:
            count = count + 1
            current = bef_previous_elem + previous_elem
            bef_previous_elem = previous_elem
            previous_elem = current
        return (current)

def fibo_iter_mod_slow(n,mod):
    if n==0:
        return n%mod
    elif n==1:
        return n%mod
    else:
        previous = 1%mod
        bef_previous = 0%mod 
        count = 1
        while count<(n):
                current = bef_previous%mod + previous%mod 
                bef_previous = previous%mod 
                previous = current%mod 
                count = count + 1
        return current%mod 

#preciso construir um algoritmo para identificar a pisano period/cycle

def pisano_cycle(big_list):
    promising_list = []
    for i in big_list:
        promising_list.append(i)
        p_l_len = len(promising_list)
        p_l_final_index = 2*p_l_len
        if promising_list == big_list[p_l_len:p_l_final_index]:
            break
    return promising_list

def generate_big_pisano_list(mod):
    big_list = []
    if mod<249:
        limit = 700
    if 249<=mod<1000:
        limit = 3001
    else:
        limit = 6000
    for i in range(0,limit):
        big_list.append(fibo_iter_mod_slow(i,mod))
    return big_list

#agora eu sei gerar uma lista pisano
#sei identificar uma lista de pisano
#preciso de uma outra função
#ela deve, sabendo o padrão CÍCLICO, identificar o nth elemento desse padrão


def fibo_iter_mod_fast(n,mod):
    big_pisano_list = generate_big_pisano_list(mod)
    pattern = pisano_cycle(big_pisano_list)
    length_patt = len(pattern)
    index_analogous = (n%length_patt)
    output_in_mod = pattern[index_analogous]
    return output_in_mod

print (fibo_iter_mod_fast(n_in,mod_in))

如果您输入如下内容:

2816213588 30524

得到正确的输出:

10249

但是需要5秒多...

发生的另一个问题是当我有一个巨大的数字作为 mod 的输入时，例如:

失败案例 #12/22:(错误答案)

输入:99999999999999999 100000

你的输出:69026

正确输出:90626

(使用时间:0.04/5.00，使用内存:24100864/536870912。)

由于这部​​分，我的代码返回了不正确的输出:

   def generate_big_pisano_list(mod):
        big_list = []
        if mod<249:
            limit = 700
        if 249<=mod<1000:
            limit = 3001
        else:
            limit = 6000

我将皮萨诺循环的范围限制在 60000 个数字的范围内，显然，有些皮萨诺循环可以超出这个范围......

Answer 1

您应该使用模运算来计算斐波那契数，而不是计算循环长度，因为循环长度有对数算法。

为此所需的迭代总数肯定低于显式计算皮萨诺循环长度所需的迭代次数。

你必须利用的关系是

fib(2n) = fib(n) * ( 2 * fib(n+1) - fib(n) )
fib(2n+1) = fib(n+1) ^ 2 + fib(n) ^ 2

如果您在模运算中进行乘法和加法运算，则可以使用整数数据类型 (10^5 < 2^17) 来获得精确结果。