algorithm - 如何从四个可以平移或旋转的点中找到一个点的坐标？所有这些点形成一个刚体

Question

我有一个刚体，可以绕垂直于屏幕的轴平移和/或旋转。我在刚体上有四个点的坐标。如何获取刚体上未知点的坐标？

我可以用四个已知点组成一个线性方程来得到第五个未知点吗？如何适应等式中的平移和旋转？

Answer 1

关于点 p 旋转 θ 和平移 t' 的任何组合都可以表示为旋转 θ 关于起源，然后是适当的翻译 t。所以问题就变成了根据已知点计算出 θ 和 t 的值。然后可以将变换应用于未知点。

我认为，最简单的工作方式是在齐次坐标系中。对于列向量，θ 围绕原点的旋转由矩阵 M(θ) 表示:

 cos(θ)    sin(θ)    0  
-sin(θ)    cos(θ)    0  
   0         0       1

t = (tx, ty, 1)^T 的翻译由矩阵 T( t):

1    0    tx
0    1    ty
0    0    1

整体变换是乘积 T(t)M(θ)。这需要解决三个未知数 θ、tx 和 ty。对于四个已知点，有八个方程(每个点两个，对应于 x 和 y 坐标)，因此有足够多的信息来求解未知数。只需插入已知点的值即可。