algorithm - 一个数字作为叶节点出现了多少次？

Question

假设你有一个包含 n 个元素的数组 A = {1,2,3,4,5} 一共5个!二叉搜索树是可能的(不一定不同)现在我的问题是有多少树 1 出现为叶节点，有多少树 2 出现为叶节点等等？

我尝试过的:

我见过 A = {1,2,3}

2 出现 6/3 = 2 次

1 出现 2+1 = 3 次

3出现2+1=3次

我可以概括一下，然后说吗？ 如果 A= {1,2,3,4}

2 = 24/4 = 6 次

3 = 24/4 = 6 次

1 = 6+1 = 7 次

4 = 6+1 = 7 次

Answer 1

我们可以概括，但不是那样。

您可以尝试置换数组并生成所有可能的 BST。在 map /字典数据结构中返回答案的蛮力方法不应该那么难。首先编写一个函数，给定一个置换数组，找到所有叶子。它以第一个元素为根，将小于根的所有元素发送到左侧，将所有大于根的元素发送到右侧，并为这两个元素递归调用此函数。然后它在组合这些值后返回。

最后，组合所有可能排列的值。

Python 中的一种可能方法:

from itertools import permutations

def func(arr):
    if not arr: return {}
    if len(arr)==1: return {arr[0]}

    ans = set()
    left = func([v for v in arr[1:] if v<arr[0]])
    right = func([v for v in arr[1:] if v>=arr[0]])
    ans.update(left)
    ans.update(right)
    return ans

arr = [1,2,3,4]
ans = {i:0 for i in arr}
for a in permutations(arr):
    dic = func(a)
    print(a,":",dic)
    for k in dic:
        ans[k]+=1

print(ans)

对于 [1,2,3] 它输出:

(1, 2, 3) : {3}
(1, 3, 2) : {2}
(2, 1, 3) : {1, 3}
(2, 3, 1) : {1, 3}
(3, 1, 2) : {2}
(3, 2, 1) : {1}
{1: 3, 2: 2, 3: 3}

对于 [1,2,3,4]，只有最后一行，即答案是:

{1: 12, 2: 8, 3: 8, 4: 12}

对于[1,2,3,4,5]，它是:

{1: 60, 2: 40, 3: 40, 4: 40, 5: 60}

你能看出规律吗？好吧，最后一个例子。对于最多 6，它是:

{1: 360, 2: 240, 3: 240, 4: 240, 5: 240, 6: 360}